Теорема про взаємність робіт

Розглянемо два стани пружної системи, що знаходиться в рівновазі. У кожному з цих станів на систему діє деяке статичне навантаження (мал.5.4,а). Позначимо переміщення по напрямках сил і через , де індекс показує напрямок переміщення, а індекс — його причину, що викликала.

Рис.5.4. Сили і викликані ними переміщення

Позначимо роботу навантаження першого стану (сила ) на переміщеннях першого стану через , а роботу сили на викликаних нею переміщеннях через :

.

Використовуючи (5.9), роботи і можна виразити через внутрішні силові фактори:

.

(5.10)

Розглянемо випадок статичного навантаження тієї ж системи (мал.5.4,а) у такій послідовності. Спочатку до системи прикладається статично зростаюча сила (мал.5.4,б); коли процес її статичного наростання закінчений, деформація системи і діючі в ній внутрішні зусилля стають такими ж, як і в першому стані (мал.5.4,а). Робота сили складе

Потім на систему починає діяти статично наростаюча сила (мал.5.4,б). У результаті цього система одержує додаткові деформації й у ній виникають додаткові внутрішні зусилля, такі ж, як і в другому стані (мал.5.4,а). В процесі наростання сили від нуля до її кінцевого значення сила , залишаючись незмінною, переміщається вниз на величину додаткового прогину і, отже, виконує додаткову роботу:

.

Сила при цьому виконує роботу

Повна робота при послідовному навантаженні системи силами , дорівнює

(5.11)

З іншого боку, відповідно до (5.4) повну роботу можна визначити у вигляді

.

(5.12)

Прирівнявши один одному вирази (5.11) і (5.12), одержимо

(5.13)

або

(5.14)

Рівність (5.14) зветься теореми про взаємність робіт, або теореми Бетті: робота сил першого стану на переміщеннях по їхніх напрямках, викликаних силами другого стану, дорівнює роботі сил другого стану на переміщеннях по їхніх напрямках, викликаних силами першого стану.

Опускаючи проміжні викладення, виразимо роботу через згинальні моменти, повздовжні і поперечні сили, що виникають у першому і другому станах:

(5.15)

Кожне підінтегральне вираження в правій частині цієї рівності можна розглядати як добуток внутрішнього зусилля, що виникає в перетині стрижня від сил першого стану, на деформацію елемента , викликану силами другого стану.