Уравнения с разделяющимися переменными

Простейшим дифференциальным уравнением первого порядка (Д.У. – I) является уравнение вида или Как известно из курса интегрального исчисления, функция у находится интегрированием

Уравнение вида называется дифференциальным уравнением с разделёнными переменными. Это видно, если одно из слагаемых перенести в правую часть:

Проинтегрируем обе части последнего уравнения и получим так называемый общий интеграл (или общее решение)

Пример. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее условию

Решение: Запишем уравнение в виде Проинтегрируем обе части и учтём постоянную интегрирования

В полученный общий интеграл подставим данное начальное условие Отсюда Искомое частное решение (или частный интеграл):

Можно упростить полученный интеграл, умножив на 6 и пропотенцировав

Заметим, что общее решение или частное решение может иметь различные формы. Правильность решения нужно доказать проверкой. В нашем случае докажем, что частный интеграл получен правильно. Для этого продифференцируем обе части полученного равенства и из системы двух уравнений, из которых одно – полученный частный интеграл, а другое – результат его дифференцирования, получим дифференциальное уравнение, предложенное для решения.

упростим полученное равенство и запишем систему

{

Подставив в первое уравнение выражение для полученное из второго уравнения, имеем или — данное Д.У..

Определение. Уравнение вида называется уравнением с разделяющимися переменными, если выражения и можно представить в виде произведения функций

и

Чтобы решить такое Д.У., необходимо привести его к виду Д.У. с разделёнными переменными, для чего разделим на произведение

Действительно, разделив все члены уравнения

на произведение , получим

-

Д.У. с разделёнными переменными. Для решения его достаточно проинтегрировать обе части уравнения

- общий интеграл Д.У..

При решении Д.У. с разделяющимися переменными надо знать

Правило разделения переменных:

Первый шаг. Если Д.У. содержит производную, её следует записать в виде отношения дифференциалов

Второй шаг. Умножив на дифференциал независимой переменной (dx), сгруппировать слагаемые, содержащие дифференциал функции и дифференциал независимой переменной (dy и dx).

Третий шаг. Выражения, полученные при dy и при dx представить в виде произведения двух множителей, каждый из которых содержит только одну переменную (либо y, либо x). Если после этого уравнение примет вид

то разделив на произведение уравнение приводим к уравнению с разделёнными переменными.

Четвёртый шаг. Интегрируя каждую часть уравнения, получим общее решение исходного уравнения (или его общий интеграл)

Например, рассмотрим уравнения

№ 1.

№ 2.

№ 3.

Укажем, какие из них являются Д.У. с разделяющимися переменными.

Д.У. № 1 легко приводится к виду

Разделив на получим - уравнение с разделёнными переменными.

В Д.У. № 2 заменим на умножим на , получим

+

Сгруппировав первые два слагаемые, сразу вынесем за скобку множитель

- уравнение с разделяющимися переменными. Разделив на получим

Уравнение №3 не может быть уравнением с разделяющимися переменными, т.к. записав его в виде или видим, что выражение в виде произведения двух множителей (один – только с у, другой – только с х) представить невозможно.

Заметим, что иногда нужно выполнить алгебраические преобразования, чтобы видеть, что данное Д.У. – с разделяющимися переменными.

Рассмотрим следующие Д.У.:

№4.

Применим известную формулу

получим или - уравнение с разделяющимися переменными. Разделив на sin y, получим Интегрируя, получим общий интеграл

или

Можно использовать определение логарифма и записать общий интеграл в виде (а)

Заметим, что общий интеграл данного Д.У. можно получить иначе, если постоянную интегрирования записать в виде Тогда после интегрирования Д.У. общий интеграл примет вид

(б)

Таким образом, общий интеграл одного и того же Д.У. может иметь различную форму. Важно в любом случае доказать, что полученный Вами общий интеграл удовлетворяет данному Д.У.. Сделаем проверку для Д.У. №4 и покажем, что и форма (а), и форма (б) общего интеграла верна.

Если в случае (а) общий интеграл , то продифференцировав по х обе части этого равенства, запишем систему:

Исключив выражение , получим или

Используя формулы: и получаем Д.У.

В случае (б) общий интеграл Продифференцируем это равенство по х и исключим выражение, содержащее С, из системы.

Получим — то же уравнение, что и в случае (а).

Найдём общее решение для Д.У..

№5.

Умножив обе части уравнения на дробь получим уравнение с разделенными переменными или

Интегрируя, получим общий интеграл

Найдём частное решение Д.У..

№6. удовлетворяющее начальному условию

Перенесём второе слагаемое в правую часть, вынесем за скобку множитель y и получим

- Д.У. с разделяющимися переменными, для чего умножим на дробь

Рассмотрим вначале нужный нам интеграл

Общий интеграл данного Д.У.:

Используя известные свойства логарифмов, упростим форму общего интеграла

Подставив начальное условие: х=0, у=1, найдём значение постоянной С:

С=1.

Искомый частный интеграл

Проверка:

Подставим и в данное Д.У.:

Упрощая, получим:

Получено верное равенство, что доказывает, что решение было получено правильно.