ТЕМА 5. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Решение многих задач естествознания, техники, экономики приводится к нахождению неизвестных функций, описывающих рассматриваемые явления или процессы, когда известны соотношения, связывающие между собой эти функции и их производные. Такие соотношения называются дифференциальными уравнениями. Рассмотрим конкретную задачу о потоке научной информации.

Задача. При исследовании роста информационных потоков в науке (числа научных публикаций) исходят из допущения, что скорость роста пропорциональна достигнутому уровню у числа публикаций, иначе говоря (k>0), где k – константа, характеризующая отклики на публикации в той или иной области знания.

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид экспоненты

Здесь С – постоянная, характеризующая некоторый начальный уровень науки.

Интересно отметить, что относительной скорости роста в 7% (k=0,07) соответствует удвоение уровня примерно за 10 лет. Действительно, если в начальный момент t=0 уровень y₀=C, точерез время Т (при t=T) , будет достигнут уровень 2y₀:

2y₀=С (T – в годах)

Мы полагаем , тогда

2= . Логарифмируя, находим . Отсюда

(лет).

В рассмотренной задаче было составлено дифференциальное уравнение и приведено его решение. Вам предлагается изучить простейшие дифференциальные уравнения, их виды, способы их решения.

Предложенная тема является логическим продолжением уже рассмотренных положений дифференциального и интегрального исчислений. Успешное изучение темы напрямую зависит от приобретённых Вами навыков дифференцирования и интегрирования.

Основные понятия и определения

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию у=f(x) и её производные различных порядков.

Например:

1)

2)

3)

Последнее уравнение можно записать в виде: или

или

т.е. дифференциальное уравнение может содержать производные ( или ) или дифференциалы dx и dy независимой перменной и функции.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Так, в рассмотренных примерах первое уравнение – второго порядка, второе и третье – первого порядка.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется любая функция y=f(x), удовлетворяющая этому уравнению.

Пример. Показать, что функция является решением уравнения

Решение. Для функции находим первую производную и второю производную . Подставляя y и в уравнение, получим тождество что и доказывает, что функция - решение уравнения

Пример. Укажите, какая из функций

1) 2) 3)

является решением уравнения

Решение: 1) . Подставляя в данное уравнение, получим:

Функция не является решением.

2)

Подставляя в данное уравнение, получим: Функция - решение данного уравнения.

3)

Функция - решение данного уравнения.

Замечание. Легко видеть, что функции вида и при произвольных постоянных С₁ и С₂ также являются решениями данного уравнения.

Пример. Легко убедиться, что функция - решение уравнения Аналогично, и функции и вообще любая функция вида где С – произвольная постоянная, также является решением уравнения

Итак, дифференциальному уравнению удовлетворяет целая система функций. Для выделения одной из них должны быть заданы так называемые начальные условия, т.е. известное значение функции y=y₀ при заданном значении независимой переменной х=х₀. Начальные условия записываются в виде:

y=y₀ при х=х₀; или y(x₀)=y₀; или .

Определение. Решение y=j(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y(x₀)=y₀, называется частным решением дифференциального уравнения.

Например, для уравнения при начальных условиях y(3)=1из функции выделим соответсвующее частное решение. Для этого в решение подставим у=1 и х=3. получим уравнение 1=(3+С)² для вычисления постоянной С. В нашем случае С= –2. Подставив найденное
С= –2 в решение , получим - искомое частное решение.

Рассмотрим некоторые методы решения дифференциальных уравнений.