Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Легко можно убедиться в том, что дифференциальные уравнения

не являются уравнениями с разделяющимися переменными. Их называют однородными Д.У. – I.

Определение. Дифференциальное уравнение называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка, если - однородная функция нулевого измерения.

Замечание. назовём однородной функцией нулевого измерения, если

Так, функции — однородные функции нулевого измерения, т.к.

Чтобы проверить, является ли Д.У. однородным, нужно заменить в этом уравнении х на tx, y на ty. Если после этого t всюду сократится и получится первоначальное уравнение, то данное уравнение — однородное.

Поэтому Д.У. является однородным.

Разделив на t, получим исходное уравнение.

Способ решения однородного Д.У. – I укажем без доказательства.

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой (или ), где u – некоторая функция х.

Решим уравнения.

№7. Найти общее решение Д.У. Решаем подстановкой Подставив y и в данное уравнение, получим или — Д.У. с разделяющимися переменными относительно вспомогательной функции u. Упростим правую часть: Умножив на получим уравнение с разделёнными переменными

Интегрируя, получим

Подставив получим общий интеграл данного Д.У.:

или

Отсюда: - общий интеграл в более простой форме.

Проверка:

{

или

— исходное уравнение.

№8. Найти частное решение Д.У.

при у(1)=p.

Подставив вместо х и у соответственно и , убедимся, что данное Д.У. является однородным:

Разделив на t обе части уравнения, получаем данное уравнение.

Для решения этого однородного уравнения применим подстановку

Сгруппируем слагаемые с и с

— уравнение с разделяющимися переменными. Умножив обе части на получим уравнение которое можно интегрировать.

Подставив получим общий интеграл данного Д.У.

Для выделения частного решения, удовлетворяющего данному начальному условию у=p при х=1, найдём значение произвольной постоянной С: Отсюда С=1 и частный интеграл

Проверка:

;

По свойству пропорции

или — данное Д.У..