Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Из этого заголовка видно, что речь пойдёт о Д.У. – II, решение которых сводится к решению дифференциальных уравнений первого порядка. Простейшими из таких уравнений являются уравнения вида Д.У.-II содержит только вторую производную и некоторую функцию от х (ни сама функция у, ни её производная в уравнение не входят).

Уравнение вида решается последовательно интегрированием два раза.

№ 12.Например:

- это уравнение уже первого порядка.

- общее решение исходного уравнения (содержит две постоянные ).

Заметим, что аналогично решаются и дифференциальные уравнения порядка выше второго, если они имеют вид, например или

Рассмотрим уравнения:

№ 13.

№ 14.

Обратите внимание, общее решение дифференциального уравнения третьего порядка содержит три произвольные постоянные, а дифференциальное уравнение четвёртого порядка – уже четыре.

Допускают понижение порядка и дифференциальные уравнения вида т.е. уравнения, в которые не входит сама искомая функция у.

Решается уравнение вида

подстановкой - вспомогательная функция. Тогда Поставив в данное уравнение Д.У. – II, получим - уравнение первого порядка.

Рассмотрим

№ 15. Найти частное решение уравнения

(1) удовлетворяющее начальным условиям

Подставновка приводит к уравнению первого порядка (2) относительно функции p и её производной Переменные p и x в нём разделить нельзя, поэтому проверим его на однородность, подставив в (2) вместо p и x соответственно. Видно, что (2) — однородное Д.У. – I. Решаем его подстановкой

или

Интегрируя, получим: или т.к. то или

Исходное уравнение (1) решалось подставновкой Поэтому Интегрируя, получим - общее решение (1).Учитывая данные начальные условия , получим

Подставив найденные в общее решение, получим — частное решение данного уравнения (1).

Проверка. Если то

Подставим и в уравнение