Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Были рассмотрены дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными и однородные и указаны способы их решения. Рассмотрим линейные дифференциальные уравнения первого порядка и приводящиеся к ним.
Определение. Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и её производной.
Общий вид линейного Д.У.-I таков:
где и - непрерывные функции или постоянные. Если то уравнение решается как уравнение с разделяющимися переменными.
Рассмотрим уравнения:
1) Это уравнение является линейным по определению, но лучше рассматривать его как уравнение с разделяющимися переменными:
2) Это уравнение не является линейным, т.к. функция у присутствует в уравнении не в первой степени.
3) Это уравнение является линейным по определению, но проще рассматривать его как однородное Д.У.-I.
4) . Это уравнение является линейным. Записав его в виде получим
Способ решения линейного Д.У.-I: подстановка где — вспомогательные функции.
Покажем на примере, что любую функцию можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых выбирается произвольно, а вторая зависит от этого выбора.
Пусть Можно представить в виде различных пар сомножителей:
где первый множитель выбирается произвольно.
Указанная подстановка приводит линейное Д.У.-I к решению двух Д.У. с разделяющимися переменными. Покажем это в общем виде.
В линейное уравнение
подставим
(1) В этом уравнении потребуем, чтобы
(2) Тем самым мы выбираем множитель причём без учёта произвольной постоянной.
Решив (2) – Д.У. с разделяющимися переменными, подставим найденную функцию в уравнение (1) и получим
(3) уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение позволит получить второй множитель Тогда — общее решение линейного Д.У.-I.
№9. Найдём общий интеграл уравнения
(1)
подставим в (1) | — общий интеграл. |
Проверка. Запишем общий интеграл в виде:
Подставим в данное уравнение:
№10. Найти частное решение Д.У.
Данное линейное Д.У.-I решаем подстановкой
Рассмотрим вначале
Первый множитель получим из равенства или Эту функцию подставим в уравнение (1):
Сократив обе части уравнения, получим Отсюда
Общее решение данного Д.У.
Используя начальные условия у=0 при х=1, имеем Частное решение данного дифференциального уравнения
Попробуйте доказать правильность решения.
№11. Найти общее решение уравнения В таком виде данное уравнение нельзя решить известными нам способами. Запишем уравнение в виде
Если в последнем уравнении считать x функцией от у, то уравнение – линейное относительно функции Итак, решаем линейное Д.У.
(1)
Искомое решение
Замечание. Напомним, как следует искать Применяя формулу интегрирования по частям
Уравнения, приводящиеся к линейным (уравнения Бернулли)
Уравнение вида
называется уравнением Бернулли.
Здесь - действительное число, причём при получим уравнение с разделяющимися переменными, при получим линейное уравнение. При уравнение Бернулли приводится к линейному, решается как и линейное подстановкой Рассмотрим на примере:
№11. Определим тип этого уравнения. Легко увидеть, что переменные разделить нельзя: не представить в виде нужных нам множителей. Однородным это уравнение не является, т.к. из скобки не удаётся вынести после соответствующей замены Линейным это уравнение не является, т.к. содержит
Представим это уравнение в виде:
и можно утверждать, что это уравнение имеет общий вид т.е. является уравнением Бернулли относительно функции Решаем его подстановкой — вспомогательные функции. Подставим в исходное уравнение
Сгруппируем слагаемые, содержащие v (только в первой степени!):
Для получения общего интеграла найдём
или
- общий интеграл.
Подставим начальное условие и найдём С:
Частный интеграл имеет вид
Заметим, что неопределённый интеграл вычислен с применением формулы интегрирования по частям
Дата добавления: 2014-12-30; просмотров: 1017;