Обратимся к решению квадратных уравнений

Формула корней квадратного уравнения где - дискриминант.

Любое квадратное уравнение всегда имеет два корня (это известное положение высшей алгебры).

1) Если то и — два различных действительных корня (числа являются действительными или вещественными) .

2) Если Д=0, то х₁=х₂= — два равных действительных корня.

3) Если Д<0, то квадратное уравнение имеет два корня, но они не являются действительными числами. Корни эти называются комплексными числами.

Обозначим и назовём мнимой единицей ( ). Тогда число вида где - любые действительные числа, назовём комплексным числом. Здесь называют действительной частью комплексного числа, называют мнимой частью, - коэффициентом мнимой части комплексного числа.

Для всякого комплексного числа существует комплексное число, ему сопряжённое Так, для числа сопряжённым является

Два комплексных числа и являются взаимно-сопряжёнными. Покажем примеры решения квадратных уравнений.

1)

2)

3)

4)

5)

Получена пара взаимно–сопряжённых комплексных чисел с действительной частью и коэффициентом мнимой части

6)

Получена пара взаимно-сопряжённых комплексных чисел где

Заметим, что всякое алгебраическое уравнение степени n имеет ровно n корней, среди которых могут быть как действительные (различные или равные), так и комплексные (обязательно попарно взаимно–сопряжённые).

Для решения уравнения разложим левую его часть на множители: Остаётся решить три простейших уравнения:

Имеем четыре корня:

Для решения уравнения разложим левую его часть на множители:

и решим два уравнения

В уравнении сделаем замену и получим корни которого или

Два последних уравнения позволяют найти корни

Учитывая найденный уже корень имеем пять корней, из которых два - взаимно–сопряжённые комплексные числа.