ИДЗ-3. Решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по правилам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса:

Решение: Совместность данной системы линейных неоднородных алгебраических уравнений проверим по теореме Кронекера – Капелли, утверждающей, что система совместна тогда и только тогда, когда ранги основной (r_A) и расширенной (r_B) матриц системы равны: r_A = r_B = r. При этом, если r = n, где n – порядок системы, система имеет единственное решение.

Рангом матрицы называется наиболее высокий порядок определителя, составленного из ее элементов, отличный от нуля.

В данном случае, определитель основной матрицы A системы уравнений:

D = = = –(–1)× = 1×(–1) – 3×5 = –16 ¹ 0,

т.е. r_A = 3 = n. Установим значения определителей, составленных из элементов расширенной матрицы, заменяя последовательно столбцом свободных членов 1-ый, 2-ой и 3-ий столбцы основной матрицы системы:

detB₁ = = = = (–1)× =

= –(35–99) = 64 ¹ 0;

detB₂ = = = = (–1)× = –(9 + 7) =

= –16 ¹ 0;

detB₃ = = = = (–2)× = –2×(–10 – 6) =

= 32 ¹ 0.

т.е. r_B = 3 = r_A. Т.о., ранги основной и расширенной матриц системы совпадают и равны числу переменных n = 3, т.е. система однозначно разрешима.

а) Для нахождения решения системы применим правила Крамера, используя значения вычисленных выше определителей:

x₁ = ×detB₁ = – ×64 = –4;

x₂ = ×detB₂ = – ×(–16) = 1;

x₃ = ×detB₃ = – ×32 = –2.

Окончательно, решение системы есть = .

б) Для нахождения решения системы с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме:

A× = ,

где A = – матрица системы; и = – столбец переменных и свободных членов, соответственно. Тогда решение системы в матричном виде есть:

= A^–1× .

Остается найти обратную матрицу A^–1 системы. Для этого вычислим матрицу дополнений и транспонируем ее, т.е. вычислим присоединенную матрицу A* к матрице A.

A₁₁ = (–1)¹⁺¹× = 4×(–3) – 1×3 = –15;

A₁₂ = (–1)¹⁺²× = –(2×(–3) + 3×3) = –3;

A₁₃ = (–1)¹⁺³× = 2×(–1) – 3×4 = –14;

A₂₁ = (–1)²⁺¹× = –(5×(–3) – 1×1) = 16;

A₂₂ = (–1)²⁺²× = –(1×(–3) – 3×(–1)) = 0;

A₂₃ = (–1)²⁺³× = –(1×(–1) – 3×5) = 16;

A₃₁ = (–1)³⁺¹× = 5×(–3) – 4×(–1) = –11;

A₃₂ = (–1)³⁺²× = –(1×(–3) – 2×(–1)) = 1;

A₃₃ = (–1)³⁺³× = 1×4 – 2×5 = –6.

Теперь присоединенной матрицей будет матрица A* = , а обратной матрицей – матрица A^–1 = × .

Решением системы будет

= A^–1× = × × = – × =

= – × = .

в) Решим данную систему методом Гаусса (методом исключения):

Исключим x₁ из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на 2 и вычтем из второго уравнения; первое уравнение умножим на 3 и вычтем из третьего уравнения. Получим

Последовательно находим x₂ = 1; x₃ = 4 – 6×1 = –2; x₁ = 3 – 5×1 –2 = –4.

Ответ: Решение системы: = .