ИДЗ-6. Вычисление пределов с использованием замечательных пределов

Вычислить пределы, применяя I и II замечательные пределы:

а) ; б) .

Решение: Выражения для I и II замечательного пределов есть, соответственно:

= 1;

= e.

а) Путем несложных преобразований приведем данный предел к стандартному виду II замечательного предела:

= = = .

Для удобства выполним замену переменной под знаком предела. Обозначим x – 1 = t. Тогда при x ® ¥ и новая переменная t ® ¥. Кроме того, x = (t + 1) и 2 – 5x = 2 – 5× (t + 1) = 2 – – t = – – t. Продолжим выкладки:

= =

= × = 1× = .

б) Приведем данный предел к стандартному виду I замечательного предела. Выполним замену переменной под знаком предела. Обозначим p – x = t. Тогда при x ® p новая переменная t ® 0. Кроме того,

p² – x² = p² – (p – t)² = t(2p – t)

и

1 – sin = 1 – sin = 1 – sin = 1 – cos = 1 – (1 – 2sin² ) = 2sin² .

Теперь

= = × × = ×1×0 = 0.

Ответ: а) = ; б) = 0.