Метод неопределённых коэффициентов

Пусть правая часть уравнения (3)

представляет собой произведение показательной функции (экспоненты) на многочлен, т.е.

где a — действительное число, — многочлен степени n. Тогда возможны следующие случаи:

1) Число a не является корнем характеристического уравнения

(2).

В этом случае частное решение нужно искать в виде

где - многочлен той же степени n, что и но с неопределёнными коэффициентами.

2) Число a есть простой (однократный) корень характеристического уравнения.

В этом случае частное решение нужно искать в виде

.

3) Число a есть двукратный корень характеристического уравнения.

В этом случае частное решение нужно искать в виде

Неизвестные коэффициенты многочлена найдём из условия, что функция является решением уравнения (3), т.е. удовлетворяет этому уравнению.

Рассмотрим примеры, на которых покажем не только принцип применения метода, но и порядок оформления решения.

№ 16. Найти общее решение уравнения

1) Составим характеристическое уравнение и найдём его корни:

2) Запишем общее решение однородного уравнение:

3) Запишем, в каком виде следует искать частное решение данного уравнения. Для этого выпишем правую часть его и сравним с

Многочлен второй степени (n=2) c коэффициентами 25, 0, -2 Показательная функция в нашем случае, т.е. a=0. Т.к. a=0 не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения то частное решение нужно искать в виде:

Многочлен в нашем случае второй степени (n=2), неизвестные коэффициенты А, В, С этого многочлена нужно найти, подставив в данное уравнение:

4) Запишем столбиком:

Слева укажем коэффициенты 5; 6; 1, на которые следует умножить чтобы получить левую часть уравнения Понятно, что в левой части мы получим многочлен второй степени, который должен быть равен многочлену второй степени в правой части. Многочлены будут равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Запишем столбиком полученные уравнения:

х2 х1 х0

}

Мы получили систему трёх уравнений с тремя неизвестными коэффициентами А, В, С. Решив её, найдём: А=5, В=-12, С=12.

Частное решение

5) Общее решение данного уравнения

или

№ 17.

1)

2)

3) Сравним правую часть данного уравнения с

Отмечаем, что a=1 совпадает с одним корнем характеристического уравнения и многочлен х–2 степени n = 1. Поэтому частное решение следует искать в виде

4) Так как требуется найти то удобнее записать в виде

.

Запишем столбиком:

-7

Каждое слагаемое левой части уравнения и правая часть содержат общий множитель . Предполагая, что на можно разделить уравнение, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа. Заметим прежде, что в левой части уравнения взаимно уничтожаются слагаемые с (они подчёркнуты).

В оставшихся трёх слагаемых наивысшая степень х — первая.

Получим систему из двух уравнений:

х х0

–14А+4А=1 –7В+2А+2В= –2

}

;

5) Общее решение

6.6. Пусть правая часть неоднородного Д.У.-II представляет собой сумму функций вида т.е.

Частное решение этого уравнения следует искать в виде суммы частных решений двух уравнений

№ 18. Найдём общее решение уравнения

Здесь

1)

2)

3) при

А=2; В=-2.

4) при

C= –5; Е=10.

5) Общее решение данного уравнения или

Прежде чем Вы приступите к решению контрольного задания, попытайтесь ответить на предлагаемые вопросы для самоконтроля. Если Вы будете испытывать затруднения при ответе на конкретный вопрос, попытайтесь найти на него ответ, вернувшись к теоретической части курса.

Вопросы для самоконтроля

1) Какое уравнение называется дифференциальным ?

2) Что называется решением Д.У.? Сколько решений имеет Д.У.?

3) Как установить, является ли данная функция решением данного Д.У.?

4) Какое Д.У. называется дифференциальным уравнением первого порядка (Д.У.-I)?

5) В каком виде можно записать Д.У.-I?

6) Что называется общим решением Д.У.-I?

7) Как найти частное решение Д.У.-I, удовлетворяющее заданному начальному условию?

8) Какое Д.У.-I называется уравнением с разделёнными переменными?

9) Как установить, является ли данное Д.У.-I уравнением с разделяющимися переменными? Каково правило разделения переменных?

10) Какое Д.У.-I называется однородным?

11) Как проверить, является ли Д.У.-I однородным?

12) Каким способом решается однородное Д.У.-I?

13) Какое Д.У.-I называется линейным?

14) Каков способ решения линейного Д.У.-I?

15) Какой вид может иметь дифференциальное уравнение второго порядка (Д.У.-II)?

16) Что называется общим решением Д.У.-II?

17) Как найти частное решение Д.У.-II, удовлетворяющее заданным начальным условиям?

18) Какие Д.У.-II допускают понижение порядка? Как они решаются?

19) Какое Д.У.-II называют линейным?

20) Какой вид имеет однородное линейное Д.У.-II с постоянными коэффициентами?

21) Какое уравнение называется характеристическим? Что оно собой представляет?

22) Какие случаи рассматриваются при отыскании общего решения однородного линейного Д.У.-II с постоянными коэффициентами? Какой вид имеет его общее решение в каждом из этих случаев?

23) Какой вид имеет неоднородное линейное Д.У.-II?

24) Какова структура общего решения неоднородного линейного Д.У.-II с постоянными коэффициентами?

25) Для какого вида правой части можно применить метод неопределенных коэффициентов? Как составить вид частного решения и от чего зависит этот вид?

Ответы на предложенные вопросы Вы найдёте в настоящем курсе.