Несобственные интегралы

При введении понятия определенного интеграла мы предполагали, что отрезок интегрирования является конечным. Если промежуток интегрирования бесконечен, то требуется специальное определение таких интегралов - они называются несобственными.

Определение. Пусть функция непрерывна на Тогда полагают:

Если этот предел равен числу, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если этот предел равен бесконечности или не существует, то - расходящимся.

Пример 45.

т.е. интеграл сходится.

Пример 46.

т.е. интеграл расходится.

Есть и другие варианты несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования - они определяются аналогично:

Пример 47.

Пример 48.

(см. график в части 3,

стр. 7) =

Замечание.Геометрический смысл интеграла сохраняется и для несобственных интегралов - это «площадь» криволинейной трапеции, «уходящей в бесконечность», ограниченной графиком подынтегральной функции и промежутком интегрирования.

4.12. Примеры выполнения контрольных заданий по теме «Интегральное исчисление»

Задание 1. Вычислить неопределенные интегралы.

а)

б) Метод замены переменной.

(табличный интеграл) =

= (табличный интеграл) =

в) Метод интегрирования по частям.

г) Интегралы специального вида (см. п. 4.5, интеграл вида 1).

д) Интегралы специального вида (см. п. 4.5, интеграл вида 2).

= (табличный интеграл) =