Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла

Из геометрического смысла определенного интеграла вытекает: если на то

где площадь криволинейной трапеции (рис. 1).

Рассмотрим теперь случай, когда на

Тогда на Графики этих функций симметричны относительно оси и поэтому площадь

равна площади (рис. 8), а следовательно,

или

Тогда в общем случае, когда функция меняет знак на например (рис. 9), имеем:

Пусть теперь фигура ограничена графиком функции (сверху) и (снизу), прямыми и (рис. 10). Найдем ее площадь.

Для этого перенесем параллельно оси ординат фигуру вверх на расстояние так, чтобы она оказалась выше оси абсцисс (рис. 11). После этого переноса ее ограничивают графики функций и

При переносе площадь не меняется и поэтому

площ. площ.

=

Пример 44.

Найти площадь фигуры, ограниченной параболами

и

Рис. 12

Сначала найдем точки пересечения парабол, для чего решим систему уравнений

(эти точки принадлежат и той, и другой параболе, и потому их координаты удовлетворяют одновременно уравнениям обеих парабол).

Из этой системы получаем:

откуда

Тогда искомая площадь будет равна:

=