Интегралы от обратных тригонометрических функций. Интегралы от обратных тригонометрических функций, умноженных на многочлен
Общее правило: за всегда обозначается обратная тригонометрическая функция.
Напоминаю, что к обратным тригонометрическим функциям относятся арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Для краткости записи я буду называть их «арками»
Пример 11
Найти неопределенный интеграл.
Решаем.
Интегрируем по частям:
Интеграл найден методом подведения функции под знак дифференциала, можно использовать и метод замены в «классическом» виде. Аналогичный пример мы разбирали на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
Таким образом, помимо «чистого» интегрирования по частям нередко требуется применять и другие методы, приёмы решения.
Пример 12
Найти неопределенный интеграл.
Это пример для самостоятельного решения
И заключительный пример сегодняшнего урока под счастливым номером тринадцать: «арк», умноженный на многочлен. Он сложнее, и предназначен для маньяков желающих лучше разобраться в методе интегрирования по частям. Пример, пожалуй, будет тоже для самостоятельного решения, поскольку меня немного утомил тот логарифм в квадрате.
Пример 13
Найти неопределенный интеграл.
Рассмотренный метод часто применяется в комбинации с другими приёмами решения интегралов. Читатели с хорошими навыками могут ознакомиться с такими примерами на уроке Сложные интегралы.
Решения и ответы:
Пример 3: Решение:
Пример 4: Решение:
Интегрируем по частям:
Пример 6: Решение:
Дважды интегрируем по частям:
Пример 8: Решение:
Интегрируем по частям:
Пример 10: Решение:
Интегрируем по частям:
Примечание: Здесь мы использовали известную тригонометрическую формулу двойного угла . Её можно было использовать и сразу: , а потом интегрировать по частям.
Похожим способом также решаются интегралы вроде , – в них необходимо (сразу или в ходе решения) понизить степень синуса (косинуса) с помощью соответствующих формул. Более подробно – см. Интегралы от тригонометрических функций.
Пример 12:
Интегрируем по частям:
Пример 13:
Интегрируем по частям:
Примечание: Если возникли трудности с интегралом
,
то следует посетить урокИнтегрирование некоторых дробей.
Дата добавления: 2014-11-29; просмотров: 5619;