Гравитационное взаимодействие. Уравнения Эйнштейна. Уравнения Фридмана.

Гравитационное взаимодействие – тип фундаментального взаимодействия, который характеризуется участием гравитационного поля в процессах взаимодействия элементарных частиц. Гравитационное взаимодействие самое слабое из четырех взаимодействий. Гравитационное взаимодействие универсально: в нем участвуют все элементарные частицы. Если это взаимодействие слабое и тела движутся с нерелятивистким скоростями, то тяготение описывается теорией Ньютона. В нерелятивисткой классической физике сила взаимодействия двух точечных масс определяется формулой

F = G m₁ m₂ /r² ,

где m₁, m₂ – массы частиц, G =6,67 10^-8 см³/г сек².-гравитационная постоянная Ньютона. Отношение гравитационной силы к электромагнитной силе равно 10^{- 36}, до расстояний равных комптоновской длине волны протона. Гравитационный заряд g = + (Gm)^1/2.

В случае быстропеременных полей и быстрых движений тел тяготение описывается общей теорией относительности (ОТО)Эйнштейна. Источником гравитационного поля является четырехмерный тензор энергии-импульса, у которого для покоящейся частицы отлична от нуля только одна компонента, являющаяся массой частицы.

Важнейшее свойство гравитационного поля: оно определяет геометрию пространства-времени, в котором движется материя. Основные идеи теории Эйнштейна: 1. В поле тяготения все тела движутся по геодезическим линиям в искривленном пространстве- времени.

2. Искривление пространства-времени определяется не только массой вещества, но и всеми видами энергии физических полей присутствующими в системе.

3.Изменения гравитационного поля распространяются в вакууме со скоростью света. Сравнение свойств гравитационного и других взаимодействий см. в табл.2.6

В конечных областях искривленного пространства-времени квадрат пространственно-временного интервала записывается в криволинейных координатах в общем виде:

(2.106)

где ; - произвольные пространственные координаты, -временная координата, (по одинаковым верхним и нижним индексам производится суммирование).

-метрический тензор, его компоненты определяют метрику пространства-времени.

Основная задача теории тяготения –определение гравитационного поля, что соответствует в теории Эйнштейна нахождению геометрии искривленного пространства –времени. Эта задача сводится к нахождению компонент метрического тензора , для этого решаются уравнения ОТО Эйнштейна:

(2.107)

здесь -тензор Риччи, -тензор энергии-импульса материи. -скалярная кривизна пространства.

Последнее слагаемое это член с космологической постоянной описывает силы гравитационного отталкивания вакуума >0, дополнительные к обычным гравитационным силам притяжения. Формально космологический член в уравнении 1 эквивалентен дополнительному члену в тензоре энергии-импульса. Этот член дает следующее значение для плотности энергии и давления :

. (2.108)

В начальной стадии космологического расширения плотность вакуумоподобного состояния могла быть огромной г/см³, что соответсвует см^–2. В дальнейшем энергия вакуумоподобного состояния перешла в энергию обычных частиц и космологический член стал очень малым или даже равным нулю.

Уравнения(2.107) нелинейны: они не удовлетворяют принципу суперпозиции: нельзя задать и вычислить . Уравнения поля тяготения содержат в себе и уравнения движения масс в поле тяготения. Это означает, что в теории Эйнштейна материя создает искривление пространства-времени, а искривление влияет на движение материи, создающей это искривление.

Нестационарная метрика четырехмерного однородного и изотропного пространства-времени с 6-параметрической группой симметрии, как решение уравнений общей теории относительности была впервые найдена А. А. Фридманом в 1922- 1924 гг. Квадрат четырехмерного интервала (метрика Фридмана-Робертсона-Уокера)

где квадрат элемента длины

(2.109)

с- скорость света, -безразмерные пространственные координаты., -собственное время., показываемое покоящимися часами в каждой точке пространства, ,-кривизна пространства. При пространство с нулевой кривизной (плоское эвклидово), - пространство с отрицательной кривизной, пространство с положительной кривизной.

В сферических координатах метрика Фридмана-Робертсона-Уокера имеет вид

(2.110)

-масштабный фактор, описывает изменение с течением времени расстояний между точками с фиксированными пространственными координатами , и не зависит от них. Он определяется уравнениями Фридмана :

, (2.111)

здесь -гравитационная постоянная, -давление в космологической среде, -плотность космологической среды.

и уравнением состояния физической среды

(2.112)

По Глинеру Э.Б. в ранней вселенной плотность вакуумоподобной (т.е. лоренц-инвариантной) фазы среды и давление в ней связаны уравнением состояния

. (2.113)

Глинер Э.Б.: «Идея вакумоподобного состояния, в сочетании с постулатом о переходе физической среды в это состояние с ростом плотности, является до сих пор единственной альтернативой заключению о незбежности сингулярностей в ОТО, в противном случае вытекающем из картины гравитационного коллапса» [9]. При гравитационном коллапсе при приближении давления к условию тяготение становится отталкиванием, т.е. возникает расхождение геодезических линий. Когда коллапсирующее тело переходит в вакуумоподобное состояние, гравитационное отталкивание останавливает гравитационный коллапс. Теория Эйнштейна для гравитационного поля, это неквантовая теория, как и теория Максвелла для электромагнитного поля.