Дифференциальные уравнения II порядка.

Определение.Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию, ее первую производную, а тек же вторую производную от искомой функции, называется дифференциальным уравнением второго порядка.

В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде F (х, у, у',y") = 0, где у= у(х)-искомая функция.

Одним из представителей дифференциальных уравнений второго порядка является линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение вида (1), где - действительные числа , называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Чтобы решить уравнение (1), нужно решить характеристическое уравнение (2)

При решении характеристического уравнения (2) возможны три случая, в зависимости от которых строится общее решение данного дифференциального уравнения (1):

Корни уравнения(2)	Частные решения уравнения (1)	Общее решение уравнения (1)
Действительные и различные:
Равные:
Комплексно-сопряженные:

Пример 1.Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид . Его корни . Так как корни действительные и различные, то общее решение записывается в виде .

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни . Следовательно, общее решение данного уравнения таково: .

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни: . Таким образом, общее решение уравнения записывается в виде

Пример 4. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям ,

Решение. Общее решение уравнения записывается в виде

Найдем частное решение, которое удовлетворяет заданным начальным условиям. Из первого условия следует, что , , откуда . Учитывая, что , и используя второе начальное условие, находим , . Следовательно, искомое частное решение имеет вид ,

Пример 5. Найти интегральную кривую дифференциального уравнения , проходящую через точку и касающуюся в этой точке прямой .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид ; его корни являются комплексно-сопряженными. Уравнение множества интегральных кривых запишется так :

Найдем уравнение искомой интегральной кривой, для чего в равенства

и подставим значения у = 1 и углового коэффициента касательной . В результате получим . Подставив эти значения в общее решение, получим .

Содержание работы.

Задание 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

Задание 2. Найдите общее решение однородного дифференциального уравнения первого порядка:

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

Задание 3. Найдите общее и частное решения линейного дифференциального уравнения первого порядка:

3.1 , если

3.2 , если

3.3 , если

3.4 , если

3.5 , если

Задание 4. Найдите общее решение линейного однородного дифференциального уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

Задание 5. Найдите общее и частное решения линейного однородного дифференциального уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

5.1 , если

5.2 , если

5.3 , если

5.4 , если

5.5 , если

Задание 6. Найдите общее и частное решения линейного однородного дифференциального уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

6.1 , если

6.2 , если

6.3 , если

6.4 , если

6.5 , если

Вопросы для самоконтроля

1. Какое уравнение называется дифференциальным?
2. Перечислите известные вам типы дифференциальных уравнений первого порядка. Приведите примеры.
3. Чем частное решение отличается от общего?
4. Может ли решение дифференциального уравнения: а) быть конечным; б) быть представлено в виде ?
5. Может ли ДУ первого порядка содержать: а) вторую производную искомой функции; б) искомую функцию; в) производную искомой функции; г) независимую переменную?
6. Как записать в общем случае дифференциальное уравнение второго порядка?
7. Что называется решением дифференциального уравнения второго порядка?
8. Запишите в общем виде линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
9. Что называется характеристическим уравнением?
10. Напишите общее решение уравнения, когда его характеристическое уравнение не имеет действительных корней?
11. Могут ли интегральные кривые ДУ: а) пересекаться; б) касаться?
12. Может ли решение ДУ второго порядка: а) быть конечным; б) быть представлено в виде ?