Однородные дифференциальные уравнения.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно представить в виде , где - однородные функции одинакового измерения.

Пример 2. Найти частное решение уравнения , если при .

Решение. Записав данное уравнение в виде ; легко можно убедиться в том, что оно однородно. Положим у = zx, откуда dy = z dx + х dz. Подставляем значения у и dy в последнее уравнение: ; ; ; ; ; ; Интегрируя, получаем откуда ; ; ; ; ;

Подставив в найденное общее решение начальные условия, найдем ;

Итак, искомое частное решение будет ; ; или

3) Линейные дифференциальные уравнения.

Линейными дифференциальными уравнениями называютсятакие уравнения, которые содержат неизвестную функцию и ее производную только в первой степени:

или . Если , то уравнение называется линейным уравнением без правой части.Для решения линейных уравнений пользуются подстановкой , где и и v — некоторые функции от х. Иначе говоря, разлагают у на два сомножителя. Следует иметь в виду, что эта операция не вполне определенная. Например, если , то эту функцию можно разложить на множители бесчисленным множеством иных способов: и т.д. Поэтому, полагая один из сомножителей можно выбрать произвольно.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Здесь , — уравнение линейное.

1)Полагаем , тогда . Заменяя и их значениями, получим: . Вынося во втором и третьем слагаемом и за скобки, найденное уравнение перепишем так: (1)

2)Выберем v так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль. Это справедливо, так как сомножитель в равенстве берем произвольно. Тогда получим: или

Разделим переменные: , Или .Произвольную постоянную С можно не писать (в данном случаеберем постоянную, равную 0): , ,

3)Теперь уравнение (1) примет вид , ,

, , , . Здесь С писать обязательно, иначе получится решение не общее а частное.

4).Теперь найдем искомую функцию, помня, что , а и : ,