Метод Даламбера решения задачи Коши для уравнения свободных колебаний струны

Как мы видим, общие решения дифференциальных уравнений с частными производными зависят уже не от произвольных постоянных, а от произвольных функций. Определяя соответствующим образом эти функции, можно удовлетворять тем или иным дополнительным условиям. Этот факт проиллюстрируем на примере задачи Коши для уравнения колебаний струны.

Итак, рассмотрим следующую задачу Коши:найти функцию , непрерывную при так чтобы она удовлетворяла уравнению (4.2) при и начальным условиям

(5.1)

где заданные функции.

Предположим, что решение задачи Коши существует. Так как функция удовлетворяет уравнению (4.2), то она необходимо должна иметь вид (4.9). Произвольные функции и в (4.9) найдем так, чтобы функция (4.9) удовлетворяла начальным условиям (5.1). Подставляя (4.9) в (5.1), получаем

(5.2)

Интегрируя второе равенство в (5.2), имеем

(5.3)

где произвольная постоянная интегрирования.

Решая первое уравнение в (5.2) вместе с (5.3), для функций получаем выражения вида

(5.4)

Если теперь (5.4) подставить в (4.9), то будем иметь:

(5.5)

Формула (5.5) называется формулой Даламбера.

При выводе формулы (5.5) мы предполагали существование решения задачи Коши. Предположим, что функция дважды, а функция один раз непрерывно дифференцируемы при Тогда непосредственной подстановкой (5.5) в уравнение (4.2) и в начальные условия (5.1) можно убедиться, что функция (5.5) действительно является единственным решением задачи Коши.