Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны

Для решения смешанных задач во многих случаях используется так называемый метод Фурье или метод разделения переменных. В настоящем параграфе применение этого метода мы рассмотрим на примере смешанных задач для уравнения колебаний струны (2.8).

6.1. Случай свободных колебаний. Однородные граничные условия.Требуется найти решение уравнения

(6.1)

при граничных условиях

(6.2)

и начальных условиях

(6.3)

где заданные функции.

Метод Фурье решения задачи состоит в следующем.

I. Сначала находим частные решения уравнения (6.1), удовлетворяющие граничным условиям (6.2). Их будем искать в виде

(6.4)

где неизвестные функции одной переменной. С целью определения функцию (6.4) подставим в уравнение (6.1). Получим

откуда, разделяя переменные, будем иметь:

(6.5)

Соотношение (6.5) должно удовлетворяться тождественно при произвольно фиксированное положительное число). Зафиксировав произвольно в правой части (6.5) и меняя в левой части, приходим к выводу, что левая часть соотношения (6.5) необходимо должна равняться постоянной; этой же постоянной должна равняться и правая часть. Обозначая эту постоянную через , будем иметь:

откуда получим два обыкновенных дифференциальных уравнения относительно функций и :

(6.6)

(6.7)

Таким образом, уравнение (6.1) распалось на два уравнения (6.6), (6.7), из которых одно содержит функцию только от , а другое – функцию только от , или, как говорят, в уравнении (6.1) переменные разделились.

Теперь функцию (6.4) подставим в граничные условия (6.2). Получим

откуда

(6.8)

так как случай интереса не представляет. Таким образом, переменные разделились также и в граничных условиях.

Для определения функции мы пришли к следующей граничной задаче для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

Задача Штурма- Лиувилля.Найти такие значения параметра , называемые собственными значениями,при которых существуют нетривиальные (т.е.не равные нулю тождественно) решения уравнения (6.7), удовлетворяющие граничным условиям (6.8), а также найти эти решения, называемые собственными функциями.

Найдем решение этой задачи. Уравнение (6.7) есть уравнение с постоянными коэффициентами; для его решения надо составить характеристическое уравнение

корни которого Следовательно, вид решения зависит от знака

а) Пусть Общее решение уравнения (6.7) в этом случае имеет вид:

где произвольные постоянные. Подставляя его в граничные условия (6.8), будем иметь:

Относительно мы получили однородную систему линейных алгебраических уравнений. Так как ее определитель не равен нулю, система имеет только нулевое решение. Поэтому задача Штурма- Лиувилля в этом случае неразрешима.

б) Пусть Общее решение уравнения (6.7) имеет вид Из условий (6.8) получаем откуда Поэтому задача Штурма- Лиувилля также неразрешима.

в) Пусть В этом случае общее решение уравнения (6.7) дается формулой

(6.9)

Подстановка (6.9) в граничные условия (6.8) дает

(6.10)

Система (6.10) имеет ненулевое решение только тогда, когда ее определитель равен нулю. Так как определитель системы (6.10) равен то приравнивая его к нулю, для определения значений получаем уравнение

Решая его, находим корни , следовательно, собственные значения задачи Штурма- Лиувилля имеют вид:

(6.11)

Подставляя значения (6.11) вместо в систему (6.10), будем иметь: а произвольное. В дальнейшем будем считать, что Внося все это в (6.9), получаем собственные функции задачи (6.7), (6.8):

(6.12)

Решаем теперь уравнение (6.6) при , т.е. уравнение

Общее его решение имеет вид:

(6.13)

где произвольные постоянные.

Подставив функции (6.12),(6.13) в (6.4), получим бесконечную последовательность частных решений уравнения (6.1), удовлетворяющих граничным условиям (6.2):

(6.14)

II. Теперь построим решение, удовлетворяющее еще и заданным начальным условиям (6.3). С этой целью образуем бесконечный ряд из частных решений (6.14):

(6.15)

В дальнейшем будем предполагать, что ряд (6.15) сходится равномерно в области и допускает двукратное почленное дифференцирование по переменным и Ясно, что для этого нужно, чтобы функции удовлетворяли определенным условиям. Достаточно, например, выполнения следующих требований:

) дважды непрерывно дифференцируема на , третья производная кусочно непрерывно дифференцируема на и

) непрерывно дифференцируема на вторая производная кусочно непрерывна на

Тогда в силу линейности и однородности уравнения (6.1) сумма ряда (6.15) из его решений также будет решением уравнения (6.1). Кроме того, поскольку каждое слагаемое ряда удовлетворяет однородным граничным условиям (6.2), то сумма ряда будет удовлетворять и этим условиям.

Покажем, что постоянные и в (6.15) можно определить так, чтобы удовлетворялись и начальные условия (6.3). Продифференцируем ряд (6.15) по :

(6.16)

Подставляя (6.15),(6.16) в (6.3), получаем

(6.17)

Соотношения (6.17) представляют собой разложения функций в ряд Фурье по синусам. Из теории тригонометрических рядов Фурье известно, что всякая функция , непрерывная на отрезке вместе со своей производной первого порядка и удовлетворяющая условию , разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по синусам:

где

Заметим, что функции удовлетворяют указанным условиям. Поэтому соотношения действительно будут выполняться, если постоянные имеют вид:

(6.18)

Подставляя (6.18) в (6.15), получаем решение смешанной задачи (6.1)-(6.3).

Таким образом, решение задачи (6.1)- (6.3) дается формулой (6.15), в которой постоянные определены соотношениями (6.18).

Рассмотрим физическую интерпретацию решения (6.15). Если ввести обозначения то это решение можно записать в виде

(6.19)

Каждый член этого ряда представляет собой так называемую стоячую волну,при которой точки струны совершают гармоническое колебательное движение с одинаковой фазой , с амплитудой и частотой При таком колебании струна будет издавать звук, высота которого зависит от частоты колебаний . Частота основного (самого низкого) тона выражается формулой . Остальные тона, соответствующие частотам, кратным , называются гармониками. Решение (6.19) складывается из отдельных гармоник; амплитуда их, а поэтому и влияние их на интенсивность звука, издаваемого струной, обыкновенно быстро убывает при увеличении номера гармоники и все их действие сводится к созданию тембра звука. Приведенная интерпретация решения подтверждается экспериментально: с помощью резонаторов можно выделять гармоники, соответствующие различным значениям .

6.2. Случай вынужденных колебаний. Однородные граничные условия.Найти решение уравнения

(6.20)

удовлетворяющее граничным условиям

(6.21)

и начальным условиям

(6.22)

где заданные функции.

Эту задачу разобьем на две более простые. Для этого решение представим в виде

(6.23)

где есть решение задачи

(6.24)

(6.25)

(6.26)

а есть решение задачи

(6.27)

(6.28)

(6.29)

Задача (6.24)- (6.26) для функции рассмотрена нами в пункте 6.1; ее решение дается рядом (6.15). Решение задачи (6.27)- (6.29) будем искать в виде

(6.30)

где неизвестные функции.

Пусть ряд (6.30) равномерно сходится в области и допускает почленное двукратное дифференцирование по Тогда, подставляя (6.30) в (6.27), получаем

(6.31)

При произвольно фиксированном (6.31) представляет собой разложение функции в ряд Фурье по синусам. Поэтому для коэффициентов разложения (выражений в квадратных скобках) имеем

(6.32)

где

(6.33)

С учетом (6.30) и из условий (6.29) получим

(6.34)

Следовательно, для определения функций имеем задачу (6.32), (6.34), представляющую задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (6.32) с начальными условиями (6.34). Ее решение может быть получено с помощью метода вариации произвольных постоянных в следующем виде

(6.35)

Подставляя сюда вместо выражение (6.33), а затем полученный результат в (6.30), получаем решение задачи (6.27)- (6.29). Решение исходной задачи (6.20)- (6.22) найдем по формуле (6.23).

6.3. Случай вынужденных колебаний. Неоднородные граничные условия.Рассмотрим задачу: найти решение уравнения

(6.36)

удовлетворяющее граничным условиям

(6.37)

и начальным условиям

(6.38)

где заданные функции.

Решение этой задачи будем искать в виде

(6.39)

От функции потребуем, чтобы она имела непрерывные вторые производные по и и удовлетворяла ненулевым граничным условиям

(6.40)

Такую функцию всегда можно найти, например,

Считая теперь функцию известной, выведем задачу для функции Подставляя (6.39) в уравнение (6.36), получаем

или

(6.41)

где принято обозначение

Далее, с учетом (6.37), (6.40) и соотношения вытекающего из (6.39), для получаем однородные граничные условия

(6.42)

Наконец, учитывая (6.38), будем иметь:

(6.43)

Таким образом, для определения функции мы пришли к задаче (6.41)- (6.43) для уравнения вынужденных колебаний струны с однородными граничными условиями; эта задача была рассмотрена нами в пункте 6.2.

Пример 6.1.Решить методом Фурье смешанную краевую задачу для уравнения свободных колебаний струны:

Решение.Решение этой задачи дается формулой (6.15), в которой коэффициенты определены соотношениями (6.18). В нашем случае

Внося эти данные в (6.18), получаем

Вычислим интегралы:

если

при

Подставив эти значения коэффициентов в (6.15), получим решение задачи в следующем виде

Покажем, что коэффициенты в некоторых случаях, как, например, в этом примере, можно найти и другим способом, не прибегая к формулам (6.18). Для этого функцию в виде (6.15) и ее производную в виде (6.16) подставим в начальные условия:

В правых частях этих равенств стоят разложения в ряд Фурье по синусам с известными коэффициентами. Поэтому приравнивая коэффициенты при , получаем систему

откуда остальные равны нулю.

Пример 6.2.Решить методом Фурье смешанную краевую задачу для уравнения вынужденных колебаний струны:

Решение. В соответствии с изложенным в разделе 6.2 §6 решение этой задачи ищется в виде

(6.44)

где есть решение задачи

а есть решение задачи

Сначала решаем задачу относительно функции решение которой дается формулой (6.15), в которой коэффициенты определены соотношениями (6.18). В нашем случае

Внося эти данные в (6.18), получаем

Вычислим интегралы:

если

при

если

при

Таким образом, все коэффициенты с четными номерами равны нулю. Подставив найденные значения коэффициентов в (6.15), получим решение первой задачи относительно в следующем виде

(6.45)