Неявная функция и её дифференцирование

Рассмотрим уравнение в области

Определение 1.Говорят, что уравнение задаёт в области функцию неявно, если для каждого фиксированного уравнение имеет единственное решение Тогда функция каждому ставит в соответствие решение этого уравнения (т.е. ).

Ясно, что если неявная функция существует, то имеет место тождество

При этом часто в явном виде функцию получить невозможно. Например, уравнение определяет в окрестности каждой фиксированной точки некоторую функцию . Однако найти эту функцию в явном виде не представляется возможным.

Обращаем также внимание на то, что неявная функция существенно связана с областью В одной из областей для одного и того же уравнения неявная функция может существовать, в другой – нет. Например, уравнение в области задаёт функцию неявно, а в области оно не задаёт никакой неявной функции так как в этой области указанное уравнение имеет два решения для каждого

Теорема 3(о существовании неявной функции). Пусть выполнены условия:

1) точка является решением уравнения (т.е. )

2) в некотором прямоугольнике функция и её частные производные непрерывны; 3)

Тогда существует прямоугольник такой, что в этом прямоугольнике уравнение определяет некоторую функцию неявным образом, причём Кроме того, функция является непрерывно дифференцируемой в интервале и имеет место равенство

Например, указанное выше уравнение определяет в окрестности каждой фиксиро-

ванной точки некоторую функцию так как при таких

частная производная Производную этой функции вычисляем по формуле (4): где удовлетворяет уравнению .

Аналогично определяются функции двух и бо̀льшего числа переменных, заданные неявно. Приведем формулировку теоремы о существовании неявной функции двух переменных.

Теорема 4.Пусть выполнены условия:

1) точка является решением уравнения (т.е. )

2) в некоторой области функция и её частные производные непрерывны; 3)

Тогда существует область

такая, что в этой области уравнение определяет некоторую функцию неявным образом, причём Кроме того, функция имеет в прямоугольнике непрерывные частные производные, которые вычисляются по формулам

Например, для функции заданной неявно уравнением по формулам (5) находим

где удовлетворяет уравнению