Скалярное поле. Производная скалярного поля по направлению, связь с градиентом

Если в некоторой области задана функция то говорят, что в задано скалярное поле. Например, температура тела в точке является скалярным полем. Будем, как и прежде, рассматривать случай Пусть фиксированная точка области Сместимся из точки в точку по направлению определяемым единичным вектором Введем следующее понятие.

Определение 2.Если существует конечный предел

то его называют производной поля в точке по направлению и обозначают

Производная показывает скорость изменения поля в точке в направлении Введем ещё одно понятие.

Определение 3 .Градиентом скалярного поля в точке называется вектор

Следующая теорема устанавливает связь между градиентом и производной поля по направлению.

Теорема 8.Если поле дифференцируемо в точке и единичный вектор направления то

Доказательствопроведем для плоского скалярного поля.Рассмотрим функцию По определению 2 имеем Так как функция дифференцируема в точке а функции дифференцируемы в точке то сложная функция дифференцируема в точке причем

Теорема доказана.

Данное нами определение градиента зависит от выбора системы координат. Инвариантное определение градиента следующее: градиентом поля в точке называется такой вектор , проекция которого на произвольное направление в этой точке совпадает с производной поля по направлению в точке т.е.

Если выбрать систему координат с ортами то и взять то по теореме 8 получаем, что

И аналогично, и мы получаем ранее данное определение градиента: Нетрудно установить следующие свойства градиента.

Производная по направлению имеет наибольшее значение в направлении

При этом

Градиент направлен по нормали к поверхности уровня в сторону наибольшего изменения поля в точке

Лекция 3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Локальный экстремум функции нескольких переменных, необходимое условие экстремума. Достаточные условия существования экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на замкнутом ограниченном множестве. Условный экстремум и метод множителей Лагранжа

Прежде чем перейти к изложению следующего раздела, отметим, что кривую в пространстве можно задать системой уравнений

.

Действительно, при изменении параметра на отрезке точка описывает в некоторую кривую При этом кривая называется непрерывной, если все функции непрерывны на отрезке и называется гладкой кривой, если производные непрерывны на указанном отрезке. Точка называется неособой, если в противном случае (т.е. в случае )точка называется особой. Нетрудно показать, что вектор является касательным вектором к кривой в точке