Наибольшее и наименьшее значения функции

Так же, как и для функции одной переменной, для функций многих переменных имеет место следующее утверждение.

Теорема Вейерштрасса.Если функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве [6] , то она ограничена на нём и достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. существуют точки такие, что

Для нахождения и поступают следующим образом:

1) Находят сначала все критические точки функции лежащие внутри (т.е. в области ) и вычисляют значения функции в этих критических точках;

2) Вычисляют наибольшее и наименьшее значения на границе

3) Среди всех найденных значений выбирают наименьшее и наибольшее. Они и будут равны и соответственно.

Пример 1.Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области

Решение.Данная область является треугольником с вершинами стороны которого расположены на прямых (рис. 1).

1) Найдем стационарные точки внутри области. Вычислим частные производные функции и приравняем их нулю:

Полученная система не имеет решения. Следовательно, критических точек внутри области нет.

1) Найдем критические точки внутри области. Вычислим частные

производные функции и приравняем их нулю:

Полученная система не имеет решения. Следовательно, критических точек внутри области нет.

2) Найдем стационарные точки на стороне AO . Координаты точек, лежащих на AO удовлетворяют условиям . Тогда рассматриваемая функция принимает вид . Критическая точка определяется из условия