Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть поверхность определена в некоторой окрестности точки

Определение 1.Геометрическое место касательных прямых, проведенных к всевозможным гладким кривым , проходящим через точку называется касательной плоскостью к поверхности в точке Прямая , проходящая через точку перпендикулярно касательной плоскости в этой точке, называется нормалью к поверхности в точке

Пусть поверхность задана уравнением и пусть кривая проходит через точку и имеет касательную в этой точке. Зададим эту кривую параметрически уравнениями и пусть точка соответствует параметру Тогда вектор является касательным вектором к кривой в точке . Так как кривая лежит на поверхности , то выполняется тождество Пусть – проекция точки на плоскость Предположим, что функция дифференцируема в точке Тогда сложную функцию можно дифференцировать по в точке . Сделав это, получим

Это равенство показывает, что вектор ортогонален касательному вектору

к кривой . Нетрудно видеть, что это утверждение верно для любой гладкой кривой , проходящей через точку , поэтому вектор перпендикулярен к касательной плоскости проходящей через точку Пусть произвольная точка плоскости Из аналитической геометрии вытекает, что уравнение этой плоскости имеет вид

Мы приходим к следующему утверждению.

Теорема 1. Пусть поверхность задана уравнением и пусть функция дифференцируема в точке Тогда в точке поверхность имеет касательную плоскость, уравнение которой записывается в виде

Если поверхность задана неявно уравнением , то уравнение касательной плоскости к ней в точке имеет вид

Заметим, что уравнение (3) выводится из уравнения (2), если в него подставить частные производные функции вычисляемые по ранее полученным формулам

Учитывая, что вектор является направляющим вектором нормали к поверхности в точке , то уравнение нормали будет иметь вид[4]

в случае явного задания поверхности и

в случае неявного задания поверхности

В уравнении (2) величина является приращением аппликаты касательной плоскости, а величины – приращениями аргументов, поэтому равенство (2) можно записать так: Отсюда вытекает следующий геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции в точке равен приращению аппликаты касательной плоскости при переходе из точки в точку