Частные производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных

Если функции дифференцируемы в точке и некоторой ее окрестности, то функции

называются вторыми частными производными функции в точке (при этом производные называются смешанными производным). Аналогично определяются частные производные более высокого порядка. Например,

Если функция непрерывна в точке и имеет в этой точке непрерывные частные производные до порядка включительно, то её называют раз дифференцируемой в этой точке.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 5(о равенстве смешанных производных). Пусть в точке и в некоторой ее окрестности существуют частные производные Тогда если смешанные производные

непрерывны в точке то они совпадают в этой точке: Аналогичное утверждение имеет место и для смешанных производных более высокого порядка (например, если частные производные непрерывны в точке ).

Пример 1.Найти вторые смешанные производные для функции

Решение.Имеем

По аналогии с дифференциалами высших порядков функции одной переменной определяются и дифференциалы высших порядков для функций многих переменных. А именно, если известен дифференциал порядка , то дифференциал го порядка определяется по индукции: При этом дифференциалы независимых переменных и их степени считаются постоянными дифференцирования.

Если функция раз дифференцируема в точке то ее дифференциал порядка в этой точке вычисляется по формуле

где символ означает, что надо сначала выражение возвести в ую степень[3], а затем произведения вида заменить на частные производные Например,

С помощью дифференциалов высших порядков можно в краткой форме записать формулу Тейлора для функций многих переменных.

Теорема 7.Пусть в точке и некоторой её окрестности функция имеет непрерывные частные производные до порядка включительно. Тогда для каждой точки имеет место представление

где остаточный член (в форме Лагранжа) имеет вид