Теоремы о непрерывности и дифференцируемости сложной функции

Теорема 1.Пусть сложная функция определена в точке и некоторой ее окрестности и пусть выполнены условия: а) функции непрерывны в точке б) функция непрервына в соответствующей точке

Тогда сложная функция непрерывна в точке

Теорема 2.Пусть сложная функция определена в точке и некоторой ее окрестности и пусть выполнены условия: а) функции дифференцируемы в точке б) функция дифференцируема в соответствующей точке Тогда сложная функция дифференцируема в точке и имеют место равенства

В случае, когда внутренние функции зависят от одной переменной, сложная функция является также функцией одной переменной; при этом

Доказательствопроведем для второго случая. Так как функция дифференци-

руема в точке то имеет место представление

С другой стороны, так как функции дифференцируемы в рассматриваемой точке то имеют место асимптотические разложения

Подставляя это в (3) (при этом учитываем, что при приращения также стремятся к нулю, а значит, ), будем иметь

Это означает, что функция дифференцируема в точке и что имеет место равенство (2). Теорема доказана.

Например, если то поэтому

Аналогично вычисляем