Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

Если экстремум функции нескольких переменных вычисляется при наличии ограничений (связей) на независимые переменные[7], то говорят об условном эстремуме этой функции. Задача об условном экстремуме ставится так: найти экстремум функции при наличии связей Дадим алгоритм решения этой задачи:

1. Составляем функцию Лагранжа

2. Находим критические точки этой функции из системы уравнений

3. Вычисляем второй дифференциал функции Лагранжа (считая постоянными):

в фиксированной критической точке , присоединяем к нему соотношения

из которых выражаем зависимые дифференциалы как функции независимых, подставляем их

в и устанавливаем знак полученного выражения при условии что независимые дифференциалы изменяются в некоторой окрестности нуля. Если , то точка будет точкой условного минимума, если то точка будет точкой условного максимума. И наконец, если изменяет знак в любой окрестности нуля плоскости независимых дифференциалов, то в точке не будет условного экстремума.

Покажем, как работает этот алгоритм, на конкретном примере. При этом ради простоты будем рассматривать функцию двух переменных и одну связь Пусть требуется найти экстремумы функции при условии

Запишем функцию Лагранжа

.

Вычисляем частные производные и составляем систему уравнений:

Получили две критические точки: функции Лагранжа. Так как

то Здесь дифференциалы подчиняются условию поэтому Отсюда видно, что в точке будет поэтому в точке функция имеет условный минимум:

z_min=

В точке будет поэтому в точке функция имеет условный максимум:

z_max=