Обобщенный метод наименьших квадратов

 

Проблема эффективности линейной несмещенной оценки вектора b для обобщенной ЛММР решается с помощью теоремы Айткена.

Теорема Айткена: в классе линейных несмещенных оценок вектора b для обобщенной ЛММР оценка

 

b* = (X’W-1X)-1X’W-1XY (6.5)

 

имеет наименьшую ковариационную матрицу (доказательство см. в работе [5, с.152]). При этом математическое ожидание оценки b* равно b: М(b*)=b, т.к. М(e)=0.

В случае классической модели, т.е. при выполнении требования åe=W=s2Еn , оценка b* обобщенного МНК совпадает с оценкой b обычного МНК.

Доказательство теоремы Айткена основано на утверждении матричной алгебры: если W - симметричная невырожденная матрица nxn, то она представима (хотя и неединственным способом) в виде произведения некоторых двух матриц:

 

W=PP’, (6.6)

 

где Р - невырожденная матрица nxn.

От обобщенной модели Y=Xb+e путем умножения слева на обратную матрицу Р-1 перейдем к ее некоторому образу Y*:

 

Y*= Р-1Y= Р-1Xb+ Р-1e=X*b+e*. (6.7)

 

Модель (6.7) удовлетворяет всем требованиям КЛММР. Следовательно, оценка b* по выражению (6.5) или аналогично (6.2):

 

b*= (X*’X*)-1X*’Y* (6.8)

 

наиболее эффективна в классе всех линейных несмещенных оценок, являясь точкой минимума обобщенного критерия МНК:

 

S*= åe*i2=e*’e*=(Y*-X*b)’(Y*-X*b)=e’We, (6.9)

 

где e*= Р-1e - см. выражение (6.7).

Для обобщенной регрессионной модели, в отличие от классической, коэффициент детерминации, вычисляемый в матричных обозначениях по формуле:

 

(6.10)

 

не является удовлетворительной мерой качества модели. Он может даже выходить за интервал [0; 1], и добавление (удаление) объясняющей переменной не обязательно приводит к его увеличению (уменьшению). Поэтому коэффициент детерминации используется только как приближенная характеристика.

Для практической реализации обобщенного МНК необходимо знать ковариационную матрицу W вектора возмущений, что случается весьма редко. Поэтому приходится вводить дополнительные условия относительно структуры матрицы W. Только тогда мы приходим к практически реализуемому обобщенному МНК. Наиболее важные виды структур матрицы W рассмотрим позднее.

 


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Признаки обобщенной линейной модели | Сущность и последствия гетероскедастичности




Дата добавления: 2019-10-16; просмотров: 135; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2020 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.006 сек.