Сущность и последствия гетероскедастичности

Равенство дисперсий возмущений e_i регрессии - гомоскедастичность - является обязательным условием линейной классической модели. Формально оно записывается в виде: å_e=s²E_n.

Однако на практике это условие часто нарушается, и мы имеем дело с гетероскедастичностью. В парной регрессии это может проявляться так: с ростом объясняющей переменной Х растет в среднем значение результирующей переменной Y и одновременно увеличивается разброс точек относительно тренда (рис. 6.1 и 6.2).

y					y
				x					x

Рис. 6.1. Явление гомоскедастичности Рис. 6.2. Явление гетероскедастичности

Рассмотрим последствия гетероскедастичности. Пусть для оценки регрессии Y по Х₁, ... , Х_p мы применили обычный МНК и получили оценочный вектор b для вектора параметров b: b=(X’X)^-1X’Y. Если вместо Y подставить его модель Y=Xb+e, то после несложных преобразований получим (заметим, что вектор b зависит от случайного вектора e):

Эта оценка - несмещенная и состоятельная для обобщенной линейной модели множественной регрессии, в том числе для случая гетероскедастичности (это очевидно, если учесть М(e)=0). Следовательно, для построения регрессионной модели и использования ее в качестве прогностического инструмента обычный метод наименьших квадратов применим и в случае гетероскедастичности модели.

Неприятности начинаются, когда мы хотим оценить точность модели, ее значимость, получить интервальные оценки ее коэффициентов. Результаты оказались бы непригодными.

Дело в том, что при расчете t- и F-статистик для тестирования гипотез важное значение имеют оценки дисперсий и ковариаций оценок b_i, т.е. ковариационная матрица å_b. Если модель не является классической, то ковариационная матрица вектора возмущений å_e¹s²E_n, и вместо å_b=s²(X’X)^-1 мы имеем существенно иную ковариационную матрицу:

å_b = (X’X)^-1X’WX(X’X)^-1.

Добавим также, что несмещенная и состоятельная оценка в случае гетероскедастичности не будет оптимальной в смысле теоремы Гаусса-Маркова, т.е. эффективной. Это может привести к тому, что оценка b будет значительно отличаться от истинного значения b.