Метод сравнения перемещений

Метод сравнения перемещений (деформаций) наиболее простой. Суть этого метода заключается в том, что дополнительные уравнения составляются из условий равенства нулю прогибов на опорах балки. Рассмотрим этот метод на примере.

Пример 6

Для балки, изображённой на рисунке 25, требуется определить опорные реакции и построить эпюры поперечных сил Q_y и изгибающих моментов М_Z

Рисунок 25 − Расчетная схема статически неопределимой балки

Балка имеет 4 опорные связи и является один раз статически неопределимой. Для определения неизвестных реакций М_А, R_А, H_А и R_B имеем только три уравнения равновесия статики:

1. ∑Х = 0; (11)

откуда следует, что H_А = 0.

2. ∑Y = 0; (12)

R_А − q∙3+ R_B − F = 0;

R_А + R_B = 380.

3. ∑ М_B = 0; (13)

М_А + 6∙ R_А − q∙3∙4,5 + M + F∙2 = 0;

М_А + 6∙ R_А = 1310.

Дополнительное четвертое уравнение составим, исходя из условия, что на опоре В прогиб y_B равен нулю. Прогиб в опоре определим, используя универсальное уравнение упругой линии (ме­тод начальных параметров), которое применительно к данной задаче имеет вид:

4. EI y_B = 0; (14)

EI y_B = EI y₀+ EIφ₀ ∙x + М_А ∙6² /2 + R_А ∙6³ /6 − q∙6⁴ /24 + q∙3⁴ /24 + М ∙1² /2 = 0.

Так как качало координат помещено в защемлении, начальные параметры y₀ = 0 и φ₀ = 0, где y₀ − прогиб балки при х = 0, φ₀ − угол поворота сечения балки при х = 0.

С учетом этого уравнение (14) имеет вид

М_А + 2∙ R_А = 330.

Решая совместно уравнения (3) и (4), получим:

,

- откуда R_А = 245 кН, М_А = − 160 кHм.

Затем, подставив в уравнение (12) найденное значение реакции R_А, определим реакцию R_B = 380 – 245 = 135 кН.

Для проверки правильности вычисленных реакций составим уравнение

моментов всех сил относительно опоры А:

∑ m_А = −120∙3∙1,5 + 270 −135∙6 + 20∙8 = 0

Равенство нулю суммы моментов означает, что реакции определены

правильно. Определив значения реакций М_А, R_А, и R_B, можно приступить к

построению эпюр внутренних усилий.

На рисунке 26 приведены: схема балки, эпюры поперечных сил

Q_y, кН и изгибающих моментов М_Z, кНм.

Рисунок 26 − Расчет статически неопределимой балки.

Эпюры поперечных сил Q_y и изгибающих моментов М_Z

Рассмотрим ещё один пример расчета статически неопределимой балки.

Пример 7

Определить размеры h, b прямоугольного поперечного сечения стальной балки (рисунок 27), если [σи] = 160 МПа, E = 2·105 МПа и h/b = 2. Определить прогибы посредине пролета балки и на конце консоли. Число неизвестных реакций 4, уравнений статики 3: балка один раз статически неопределима. Целесообразные уравнения статики:

;

. (15)

Рисунок 27 − Расчетная схема статически неопределимой балки

Число неизвестных реакций 4, уравнений статики 3: балка один раз статически неопределима. Целесообразные уравнения статики:

;

. (15)

Дополнительное уравнение составим, исходя из условия, что на опоре Bпрогиб равен нулю:

. Так как начало координат помещено в защемлении, начальные параметры y₀ = 0 и φ₀ = 0. Тогда из уравнения прогибов получим:

(16)

Из уравнений (15) и (16) следует: С_у = 7,75 кН, m_c = 7 кН∙м.

Определим опорную реакцию B:

,

откуда В = 4,25 кН.

Рисунок 28 − Пример 9. Эпюры поперечных сил Q,

изгибающих моментов M и прогибов y

Проверка вычислений реакций:

.

Эпюры и показаны на рисунке 51, б, в.

Размеры сечения балки определим из условия прочности по нормальным напряжениям:

; ;

Момент инерции сечения

Жесткость сечения

Прогиб посередине пролета балки

;

.

Прогиб на конце консоли (х = 5 м):

откуда

Изогнутая ось балки показана на рисунке 51, г. Необходимо отметить,

что консольная часть балки не деформируется , но перемещается за счет деформации пролетной части. Точка D – точка перегиба упругой линии.

Задача 8