Расчет на прочность

Плоским (прямым) поперечным изгибом балки называется изгиб, при котором все внешние нагрузки действуют в одной из главных пло­скостей инерции балки, причем проекции внешних сил и реакций опор на ось балки равны нулю. В этом случае отличны от нуля только две из шести внутренних сил: внутренняя поперечная сила Q_y и внутренний изгибающий момент M_z., действующий в этой же плоскости, где приложены внешние силы (рисунок 16).

Рисунок 16 − Внутренние силы в поперечном сечении балки: Q_y(х) и M_z.(х)

Эти внутренние силы определяются методом сечений из условий статического равновесия части балки, расположенной по одну сторону от рассматриваемого сечения, под действием внешней нагрузки и искомых внутренних сил, действующих со стороны отброшенной части балки. Условия статического равновесия сводятся к двум уравнениям статики: равенстве нулю суммы проекций на ось у всех сил (ΣY = 0) и равенстве нулю суммы моментов в сечении х всех сил (Σm_x = 0).

Для балки ( рисунок 39) поперечная сила Q_y(х) и изгибающий момент

M_z.(х) определяются из двух уравнений статического равновесия:

ΣY = F – q∙a –- Q_y(х) = 0, (1)

(2)

откуда

Q_y(х) = F – q∙a,

При выполнении условий (1) и (2) все остальные условия статического равновесия удовлетворяются автоматически, т. е. никаких других внутренних сил при плоском изгибе не возникнет.

Из (1) и (2) видим, что внутренняя поперечная сила Q_y(х) в сечении x численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Аналогично, внутренний изгибающий момент M_z(х) в сечении х численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних нагрузок, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Для того, чтобы внутренние силы определялись однозначно и независимо от того, равновесие какой части балки рассматривается, вводят правило знаков для Q_y(х) и M_z(х).

Если внешняя сила (F, q) стремится повернуть рассматриваемую часть балки относительно центра тяжести сечения x по ходу часовой стрелки, то ее вклад во внутреннюю силу Q_y(х) положителен, если против хода часовой стрелки – отрицателен (рисунок 17).

Рисунок 17 − Определение знака поперечной силы Q_y(х)

Если внешняя сила (F, q, M) стремится изогнуть часть балки относительно центра тяжести сечения х выпуклостью вниз (сжатое волокно сверху), то ее вклад во внутренний момент M_z(х) положителен; если выпуклостью вверх (сжатое волокно снизу) – отрицателен (рисунок 18).

Рисунок 18 − Определение знака изгибающего момента M_z(х)

Направим ось абсцисс (ox) системы координат слева направо вдоль оси балки. Тогда внутренние усилия Q_y(х), M_z(х) в поперечных сечениях и внешняя распределенная нагрузка q будут функциями x. Они связаны дифференциальными соотношениями:

(3)

(4)

(5)

Здесь q(х) считается положительной, если она направлена вверх. Эти соотношения следует использовать при проверке правильности построения эпюр Q_y(х) и M_z(х).

Внутренний изгибающий момент связан с нормальными напряжениями, которые распределяются по высоте сечения неравномерно, вызывая растяжение одной его части и сжатие другой.

Условие прочности по нормальным напряжениям для балки любой формы поперечного сечения имеет вид

(6)

где M_z – изгибающий момент в опасном сечении балки, Н∙м;

I_z – момент инерции поперечного сечения, м⁴;

y_max – расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленной точки

поперечного сечения, м.

Для балок, поперечные сечения которых симметричны относительно нейтральной оси z, условие прочности преобразуется к виду

, (7)

где W_z – осевой момент сопротивления поперечного сечения, м³.

На основании соотношений (6), (7) W_z определяется по формуле

3.2.1. Построение эпюр внутренних сил Q_y и M_z

 

Эпюрой внутренней силы называется график ее изменения вдоль оси балки. Из определения внутренней поперечной силы Q_y(х) следует, что в том и только в том сечении, где приложена внешняя сосредоточенная сила, имеется скачок на эпюре Q_y(х) на величину этой силы. Аналогично из определения внутреннего изгибающего момента M_z(х) следует, что в том и только в том сечении, где приложен внешний изгибающий момент, – скачок на эпюре M_z(х) на величину этого момента. Под внешними силами и моментами мы подразумеваем и реакции опор.

При проверке правильности построения эпюр Q_y(х) и M_z(х) можно использовать таблицу 4, составленную на основании дифференциальных соотношений (3) – (5). В этой таблице указана связь между знаками интенсивности распределенной нагрузки q(x), поперечной силы Q_y(х) и характером изменения эпюр Q_y(х) и M_z(х) .

 

Таблица 4

Правила построения эпюр Q_y(х) и M_z(х) , основанные

на дифференциальных зависимостях между q, Q_y(х), M_z(х)

Распределенная нагрузка q, кН/м	Поперечная сила Qy, кН	Изгибающий момент Mz, кН∙м
q=0	Поперечная сила постоянна	Изгибающий момент изменяется по линейному закону
	Момент постоянный
+	Момент возрастает
_	Момент убывает
q >0	Поперечная сила возрастает по линейному закону	Момент изменяется по закону параболы, выпуклость вниз
	Момент принимает экстремальное значение Mmin
+	Момент возрастает по закону параболы, выпуклость вниз
_	Момент убывает по закону параболы, выпуклость вниз
q < 0	Поперечная сила убывает по линейному закону	Момент изменяется по закону параболы, выпуклость вверх
	Момент принимает экстремальное значение Mmax
+	Момент возрастает по закону параболы, выпуклость вверх
_	Момент убывает по закону параболы, выпуклость вверх

Пример 4

Рассмотрим построение эпюр Q_y(х) и M_z.(х) методом записи и исследования их уравнений на примере расчета на прочность двухопорной балки.

Необходимо построить эпюры поперечных сил Q_y и изгибающих моментов M_z для двухопорной двутавровой балки (рисунок 19) и подобрать размеры поперечного сечения при 200 МПа.

1. Определение опорных реакций:

;

;

, кН;

;

, кН.

Проверка

следовательно, реакции найдены верно.

2. Построение эпюр Q_y и M_z.

Балка имеет три участка нагружения.

Участок I

В пределах первого участка произвольно намечаем сечение

(рисунок 19): м.

Для составления уравнений Q_y(х₁) и M_z(х₁) рассмотрим условия равновесия левой (от сечения ) части балки. Поперечная сила в сечении равна алгебраической сумме внешних сил по левую сторону от сечения.

Учитывая правило знаков (рисунок 17), получим Q_y(х) = A – q∙x₁ = = 17,5 – 10∙x₁ (кН) – линейная зависимость.

Рисунок 19 − Построение эпюр Q_y(x) и M_z(x) для двухопорной балки

График поперечной силы Q_y(х) можно построить по двум точкам, абсциссы которых соответствуют границам участка I:

Q_y(0) = 17,5 кН; Q_y(2) = – 2,5 кН.

Далее нам нужно найти точку пересечения эпюры с базисной линией, то есть . (8)

Внутренний изгибающий момент в сечении равен алгебраической сумме моментов от всех внешних нагрузок по левую сторону от сечения. С учетом правила знаков (рисунок 18) получим

– парабола ветвями вниз. Значения на границах участка , кН∙м.

Вершина параболы находится из условия

,

т. е. из (8) при м кН∙м.

По трем точкам строим эпюру M_z на участке I.

Участок II

Наметив сечение , рассмотрим левую часть балки:

м,

Q_y( x₂) = A – q∙2 = 17,5 –20 = – 2,5 кН – (9)

– горизонтальная прямая, тaк как Q_y( x₂) = – 2,5 кН – const.

(10)

= – 2,5∙х₂ – 10 кН∙м – прямая линия. кН∙м, кН∙м.

Можно убедиться, что из условия равновесия правой части балки

получаются те же самые выражения (9) и (10) для внутренних сил:

кН;

кН∙м.

Участок III

Здесь проще рассматривать условие равновесия правой части балки

м.

Учитывая правила знаков для правой части балки (рисунки 17, 18), получим: +17,5 кН – горизонтальная прямая.

,

, кН∙м.

Построив эпюры и (рисунок 19), проверяем, удовлетворяют ли

они правилам, сформулированным в таблице 4.

3. Расчет на прочность.

Условие прочности при прямом изгибе можно записать в виде неравенства

откуда находим момент сопротивления поперечного сечения.

Вычисления производим в системе СИ:

= 8,75∙10^{-5 м3} =87,5 см³.

По сортаменту (приложение 4) определим, что такому условию

соответствует двутавр № 16, W_z = 109 см³.

3.2.2. Построение эпюр внутренних сил Q_y и M_z