Алгоритм расчета усилий в стержнях плоской фермы методом конечных элементов

Алгоритм составлен на основе применения теории матриц к расчету ферм [1].

Рассмотрим произвольную плоскую стержневую систему. В первую очередь, необходимо описать структуру решетки системы, пронумеровав все узлы фермы и ее стержни. Для описания структуры составляется структурная матрица -S , в которой в каждом ее столбце находятся только два числа: 1 и -1, причем 1 располагается в строке, номер которой совпадает с началом стержня, а -1 - в строке, номер которой совпадает с номером узла, к которому примыкает конец стержня. За начало стержня принимается тот его конец, который примыкает (присоединяется) к меньшему по номеру узлу. В каждой строке структурной матрицы (а строка соответствует узлу, совпадающему с ней по номеру) значащие числа характеризуют номера элементов, соединяемых в узле, причем 1 подчеркивает то, что к узлу подходит начало стержня, а -1 - что к узлу подходит конец стержня. Далее следует сформировать матрицы - столбцы координат узлов фермы:

, (3.49)

где i - номер соответствующего узла,

Xi и Yi - соответственно координаты X и Y узла в выбранной системе координат.

Общая матрица - столбец координат узлов фермы:

(3.50)

где m - число узлов фермы.

Матрица проекций длин элементов фермы:

(3.51)

где транспонированная матрица .

(Транспонирование - преобразование исходной матрицы, состоящее в замене строк столбцами при сохранении их нумерации). Элементами матрицы проекций являются матрицы - столбцы, два элемента каждого из которых i-го стержня дают проекции:

(3.52)

Длины стержней определяются выражением:

(3.53)

где - матрица проекций стержня.

- транспонированная матрица из .

Векторы направляющих косинусов стержней:

(3.54)

По длине элемента фермы нормальная сила постоянна:

. (3.55)

Построим вектор внешних нагрузок

(3.56)

элементами которого являются матрицы – столбцы - , определяющие проекции внешних сил, действующих на узлы, например, для j-го узла имеем:

(3.57)

где и - проекции внешних сил, действующих на j-й узел, на соответствующие координатные оси. Выражение, устанавливающее связь между внутренними усилиями и внешними силами, при этом будет следующее:

, (3.58)

где - матрица – столбец, элементами которой являются искомые усилия в стержнях фермы;

- матрица, получаемая из структурной матрицы путем замены элементов 1 на соответствующие векторы направляющих косинусов стержней, а элементов (-1) матрицы на соответствующие векторы направляющих косинусов с обратным знаком. Для определения неизвестных усилий в стержнях из вектора следует исключить элементы матрицы, соответствующие опорным связям системы, и таким путем получить вектор . Tаким же образом из матрицы необходимо исключить строки, соответствующие опорным узлам фермы. При этом для узла с шарнирно-неподвижным опиранием удаляются обе строки, а для узла с шарнирно-подвижным опиранием удалить одну строку. В результате таких преобразований получаем матрицу . Тогда вектор усилий находится решением матричного уравнения:

(3.59)

Из уравнения (2.59) матрица столбец может быть определена:

(3.60)

где - обратная матрица относительно .