Трехшарнирные арочные фермы

Некоторые типы конструкций трехшарнирных арочных ферм представлены на рис. 3.42. В фермах этого типа шарниров в действительности не три, как мы видим, а гораздо больше. Термин «трехшарнирная» принят условно. Подразумевается при этом, что речь идет о двух опорных шарнирах А и В и среднем шарнире Св пролете. Такая конструкция предопределяет отличие трехшарнирных ферм похарактеру работы от «традиционных» ферм балочного типа.

Трехшарнирные фермы, как и трехшарнирные арки, являются распорными системами, их опорные реакции наклонны при вертикальной нагрузке. Иначе говоря, при вертикальной нагрузке опорные реакции трехшарнирных ферм имеют каквертикальные, так и горизонтальные составляющие - распоры. (Вфермах балочного типа при вертикальной нагрузке опорные реакции имеют только вертикальные составляющие).

Рис. 3.42. Примеры трехшарнирных арочных ферм

Трехшарнирные фермы соединяют в себе свойства арок и ферм,. поэтому с их помощью можно перекрывать большие пролеты без воз­ведения промежуточных опор. Они нашли широкое применение при возведении мостов, строительстве ангаров, павильонов, выставочных залов и спортивных сооружений. По внешнему виду трехшарнирные фермы легки и изящны. В некоторых сооружениях несущие металлические конструкции с использованием трехшарнирных ферм намеренно не декорируют, оставляя их открытыми для обозрения. При удачном конструктивном решении и тщательном исполнении в этих случаях трехшарнирные фермы (так же, как и арки) составляет эстетическую канву всего сооружения, придавая ему воздушность и изящество.

Определенным недостатком трехшарнирных арок является необходимость возведенияотносительно мощных и тяжелых опорных частей. Поэтому для облегчения опор, если позволяют габариты, трехшарнирные арочные фермы устраивают с затяжками (рис. 3.42 г).

Как правило, стержни трехшарнирных арочных ферм делают пря­молинейными. Аналитический способ расчета трехшарнирных ферм рассмотрим на примере (рис. 3.43 а).

Предварительно проведем анализ на неизменяемость и статическую определимость. Первое необходимое условие неизменяемости как арок, так и ферм, выражается уравнением (3.23): 2У = С_Ф + С_ОП

Для арки по рис. 3.43: 2·17 = 30 + 4.

Это условие выполняется. Как известно, выполнение указанного ус­ловия является одновременно признаком статической определимости фермы. Выполнение второго необходимого условия неизменяемости в нашем случаецелесообразно установить следующим образом. В ферме (рис. 3.43 а), выделим диски - фермы простого образования АС и СВ. Совместно с диском «земля» общее количество дисков в рассматриваемой системе равно трем.Эти три диска соединяются тремя шарнирами - А, В и С (А и В - условные шарниры). Следовательно, правило соединения трех дисков в единую неизменяемую систему выполнено.

Рис. 3.43. Схема к расчету трехшарнирной арочной фермы

Делаем заключение, что ферма,представленная на рис. 3.43 а, геометрически неизменяема и статически определима.

Расчет начнем с определения опорных реакций. Для определе­ния вертикальной составляющей левой опорной реакции R_A^V приравняем нулю сумму моментов всех сил, приложенных к ферме, относительно точки В ∑М_В = 0;

R_A^V· L - P₁ · b₁ - P₂ · b₂ - … - P₆ · b₆ = 0,

отсюда

R_A^V = (P₁ · b₁ + P₂ · b₂ + … + P₆ · b₆)/L = ∑М_В /L.

Приравнивая нулю сумму моментов всех сил, приложенных к ферме, относительно точки А, найдём вертикальную составляющую R_B^V правой опорной реакции.

R_В^V = (P₁ · a₁ + P₂ · a₂ + … + P₆ · a₆)/L = ∑М_A /L = ∑М_A /L.

Можно сделать проверку, приравняв нулю сумму проекций всех сил (включая теперь R_A^V и R_В^V )на вертикальную ось: ∑Y = 0.

Горизонтальную составляющую левой опорной реакции R_A^H найдем, используя условие, что сумма моментов всех сил, расположенных слева от среднего шарнира С, относительно этого шарнира равна нулю

R_A^V· L_а - Р₁ (L_а - а₁) - Р₂ (L_а - а₂) - Р₃ (L_а - а₃) - R_A^H · f = 0;

R_A^H = [R_A^V· L_а - Р₁ (L_а - а₁) - Р₂ (L_а - а₂) - Р₃ (L_а - а₃)] /f.

Нетрудно видеть, что числитель здесь представляет собой величину изгибающего момента для простой балки на двух опорах, того же пролета, под той же нагрузкой в сечении C под средним шарниром (рис, 3.43 б). Обозначив величину этого изгибающего момента через М_С⁰, запишем

М_С⁰ = R_A^V· L_а - Р₁ (L_а - а₁) - Р₂ (L_а - а₂) - Р₃ (L_а - а₃).

Тогда

R_A^H = М_С⁰ / f. (3.36)

Горизонтальная составляющая правой опорной реакции R_В^H равна также

R_В^H = М_С⁰/ f.

Следовательно, горизонтальные составляющие опорных реакций правой и левой равны по величине R_A^H = R_В^H = Н .

В статике сооружений их принято называть распором и обозначать индексом «Н».

Усилия в стержнях определяются как для обычной балочной фермы.

_Усилие_0_3-4. Проведем разрез I-I (рис. 3.43 а), отбросим правую часть фермы, заменим ее действие усилиями в разрезанных стержнях, полагая, что они растянуты, и рассмотрим равновесие левой части фермы (рис.3.44 а).

Моментная точка 13 находится на пересечении двух остальных разрезанных стержней. Искомое усилие О_3-4 определим из уравнения

∑М₁₃ = 0,

выражающего условие, что момент всех сил, действующих на левую часть фермы относительно моментной точки 13, равен нулю. Раскроем уравнение

О_3-4· r₁ + R_A^V·x₁ - P₁ · r₂ - H · y₁ = 0,

отсюда О_3-4 = (R_A^V·x₁ - P₁ · r₂ - H · y₁)/r₁ .

Рис. 3.44. Схема к расчету усилий в стержнях фермы

Усилие D _3-13. Воспользуемся тем же разрезом I-I. Моментная точка К_I находится на пересечении стержней 3-4 и 12-13.Составляем уравнение равновесия ∑М_K1 = 0

D_3-13 · r₃ + R_A^V·x₂ - P₁ · r₄ - H · y₂ = 0,

отсюда D_3-13 = (R_A^V·x₂ - P₁ · r₄ - H · y₂) /r₃.

Усилие U_12-13.Воспользуемся еще раз разрезом I-I. Моментная точка 3 находится на пересечении стержней 3-4 и 3-13. Искомое усилиеопределим из уравнения ∑М₃ = 0. Прежде чем записать это уравнение в развернутом виде, необходимо, как мы видели выше, найти плечи всех сил, действующих на рассматриваемую левую часть фермы, относительно моментной точки 3. На рис. 3.44 а они не показаны. Предлагается это сделать самостоятельно. Напоминаем, что плечом силы относительно выбранной моментной точки является величина перпендикуляра, опущенного из моментной точки налинию действия данной силы.

Усилие О_5-6.Проведем разрез П-П (рис. 3.43 а). Отбросим правую часть фермы, заменим ее действие усилиями в разрезанных стержнях, полагая их растянутыми (направление усилий в стержнях от узлов), и рассмотрим равновесие левой части фермы (рис. 3.44 б). Искомое усилие О_5-6определим из уравнения

∑М₁₄ = 0;

О_5-6 · r₅ + R_A^V·x₃ - P₁ · r₆ - P₂ · r₇ - H · y₃ = 0.

Отсюда

О_5-6 = (R_A^V·x₃ - P₁ · r₆ - P₂ · r₇ - H · y₃) /r₅.

Усилие U_6-14. Воспользуемся тем же разрезом П-П. Искомое усилие U_6-14 можно определить из уравнения ∑М₅ = 0.

Предлагаем составить и записать это уравнение в развернутом виде самостоятельно, предварительно определив плечи сил.

Усилие V_7-15. Вырежем узел 7 (рис. 3.43 а). Рассмотрим равновесие вырезанного узла 7 (рис. 3.44 в). Искомое усилие определим из уравнения ∑γ = 0, выражающего условие, что сумма проекций усилий в стержнях фермы, сходящихся в узле 7, на ось γ, перпендикулярную линии действия усилий О_6-7 и

О _7-8, равна нулю.

V_7-15 · Cos β - P₄ · Cos β = 0.

Отсюда V_7-15 = - P₄. Стержень V_7-15 сжат.

Усилие U_1-12. Проведем разрез IV - IV (рис. 3.43 а). Рассмотрим равновесие левой части фермы (рис. 3.44 г). Искомое усилие определится из уравнения

∑Х = 0;

+ U_1-12 · Cos σ + Н = 0.

Отсюда U_1-12 = - Н/ Cos σ. Стержень U_1-12 сжат.

Усилие О_1-2. Воспользуемся тем же разрезом IV-IV. Искомое усилие О_1-2 определится из уравнения ∑Y = 0;

+ О_1-2 + R_A^V + U_1-12 · Sin σ = 0.

Отсюда О_1-2 = - (R_A^V + U_1-12 · Sin σ) = Н · tg σ - R_A^V.

Если величина правой части уравнения будет иметь знак минус, стержень О_1-2 сжат, если знак плюс - растянут.

Подобным образом можно определить усилия во всех остальных стержнях рассмотренной трехшарнирной арки.

3.4.5. Перемещения в статически определимых фермах

Если к ферме приложить внешнюю нагрузку, то она изменит свою форму и размеры. Это происходит вследствие того, что стержни ферм упруго деформируются под действием продольных усилий. При этом растянутые стержни удлиняются, сжатые - укорачивается. Упругая деформация несущих конструкций, в том числе и ферм, под действием внешней нагрузки - это неизбежное нормальное явление. При проектировании обращают внимание на главный компонент дефор­мации фермы под нагрузкой - прогиб (f) посредине пролета. Дело в том, что жесткость несущих конструкций, в том числе и ферм, ко­торую оценивают показателем f / L , где L - пролет является очень важной эксплуатационной характеристикой. Для ферм разного назначения норма жесткости находится в пределах 1/300 - 1/750. Величина жесткости должна бытьоптимальной. Например, если ферма имеет малую жесткость f / L > 1/200, то она вследствие большого прогиба под нагрузкой может оказаться непригодной к использованию, даже если условия прочности выполнены.

Рассмотрим способ аналитического определения прогиба фермы (pиc.3.45). Статически определимая ферма пролетом 4 метра нагружена в узле 2 одной сосредоточенной силой Р = 10 т. Материал, из которой изготовлена ферма, - сталь, имеющая величину модуля упругости Е-=2,1·10⁶ кг/см². Требуется аналитически определить прогиб посредине пролета f, т.е. вертикальное перемещение узла 4. Результаты вычислений приведены в табл. 3.1.

Рис. 3.45. К расчету перемещений фермы: а - схема нагружения заданной нагрузкой; б - схема нагружения фиктивной единичной нагрузкой в узле 4, премещение которого требуется определить

Перемещения узлов фермы определяются по формуле:

∆_ХР = ∑ (N_X · N_P · L_i) / (E · F_i), (3.37)

где ∆_ХР - искомое перемещение, см;

N_X - усилие в стержне фермы от действия фиктивной единичной силы X = 1, приложенной к ферме в искомом узле по искомому направлению; в нашем примере еди­ничную силу прикладываем в узле 4 вертикально вниз (рис. 3.45 б).

N_P - усилие в стержне фермы от заданной нагрузки, в на­шем примере от

Р = 10 т ;

L_i - длина i -го стержня, см;

E - модуль упругости материала фермы, в нашем случае E = 2,1· 10⁶ кг/см²;

F_i - площадь поперечного сечения i -го стержня, см.

Приступим к расчету. Сначала определим опорные реакции и усилия в стержнях фермы от действия заданной силы Р = 10 т (рис.3.45 а).

Опорные реакции. Вследствие полной симметрии опорные реакции одинаковы и равны R_AP = R_BP = 5 т = 5000 кГ.

Усилие O_1-2. Вырежем узел 1 и рассмотрим его равновесие (рис.3.46 а).

∑Y = 0: + R_A + O_1-2 · Sin α = 0.

Отсюда O_1-2 = - R_AP / Sin 45º = - 5000/ 0,707 = - 7072 кГ.

Вследствие симметрии O_2-3 = - 7072 кГ.

Усилие U_1-4P. Также используем условие равновесия узла I: ∑X = 0:

+ U_1-4P + O_1-2P · Cos 45º = 0.

Отсюда U_1-4P = - O_1-2P · Cos 45º = -( -7072) · 0,707 = + 5000 кГ.

Вследствие симметрии U_3-4 = + 5000 кГ.

Усилие V_2-4P. Вырежем узел 4. Рассматривая систему стержней, сходящихся в узле, можно без труда обнаружить, что стержень 2-4 подпадает под признак «нулевого». Напоминаем формулировку этого признака: если в узле сходятся три стержня, два из них расположены по одной прямой, и к узлу не приложена нагрузка, то усилие в третьем стержне равно нулю. Следовательно, усилие

V_2-4P = 0.

Заметим, что величину усилия в стержне 1-2 можно установить, рассматривая равновесие узла 4, составив и решив уравнение статики: ∑Х = 0.

Определим усилия в стержнях фермы от действия единичной силы Хˉ = 1 (рис. 3.46 б).

Рис. 3.46. Определение усилий в стержнях узла 1 (а) и узла 4 (б)

Значения усилий в стержнях фермы (кроме усилия V _2-4Х в стержне 2-4)от действия силы Хˉ = 1 можно определить, не прибегая к специальным расчетам, из численного отношения величин Р и Хˉ = 1. Усилие V_2-4X. Вырежем и рассмотрим равновесие узла 4 (рис. 3.46 б). Так как сила

Хˉ =1 приложена к узлу 4, то стержень 2-4 в этом случае не является нулевым. Усилие в нем определим, соста­вив и решив уравнение ∑ Y = 0 V_2-4X - Хˉ = 0.

Отсюда V_2-4X = + 1.

Результаты вычислений поместим в таблицу 3.1.

Таблица 3.1

Данные к расчету перемещения узла 4 от заданной нагрузки

Вычислим значения величины (N_X · N_P · L_i) / F_i для каждого стержня и результаты поместим в правый столбец табл. 3.1 Модуль упругости E одинаков для материала всех стержней, поэтому его значение пока опустим и учтем в итоговом результате вычислений.

Подсчитаем величину искомого прогиба ∑ (N_X · N_P · L_i) / F_i = + 241480.

Прогиб f = ∆_ХР = ∑ (N_X · N_P · L_i) / (E · F_i) = 241480 / 2100000 = 0,11 cм.

Подсчитаем величину показателя жесткости фермы

f / L = 1,1 · 10^-1 / 4 · 10² = 1 / 4000 = 0, 00025.

Такая классическая методика расчета перемещений узлов ферм применима для простых ферм с небольшим количеством стержней. Для сложных ферм (статически определимых и неопределимых) при большом количестве стержней, а также объемных ферм в настоящее время используются программы расчета ферм, например, по методу конечных элементов предлагается использовать компьютерную программу 3DFerm (ОСКАЛ).