Статически неопределимые задачи на растяжение и сжатие

Решение.

Стержень имеет две неизвестные опорные реакции С и В (направляем произвольно). Уравнение статики можно составить только одно:

ΣY =С + F₂ – F₁ + В = 0.

Таким образом, система один раз статически неопределима. Основную систему получим, удалив связь, принадлежащую, например, опоре В. Эквивалентная система показана на рисунке 7, б.

В сечении В заданной системы перемещение равно нулю. Значит, и в эквивалентной системе должно выполняться это условие δ_B = 0. Это и есть дополнительное уравнение. Для раскрытия его используем принцип независимости действия сил. Перемещение сечения В равно алгебраической сумме деформации всех участков стержня, вычисленных от каждой силы в отдельности.

Рассматривая эквивалентную систему, заметим, что реакция В сжимает все участки стержня, сила F₁ растягивает участки II, III и IV, а сила F₂ сжимает участок IV. Поэтому уравнение совместности деформаций имеет вид:

Так как площади поперечных сечений участков стержня равны соответственно:

А₁ = А₂ = 20 см² , а А₃ = А₄ = 10 см² ,

то в уравнении примем А = А₃ = А₄ = 10 см² и 2∙ А = А₁ = А₂ = 20 см² .

Умножая левую и правую части уравнения на Е∙А, получим

Подставляя в уравнение значения длин участков и внешних сил, получим:

– B∙2,0 + (50 + 120 – 48) = 0,

B∙2,0 = 122

откуда В = 61кН (направление совпадает с выбранным).

Опорную реакцию С определим из уравнения статики:

С + 60 – 100 + 61 = 0,

откуда С = – 21 кН (направление обратное).

Эпюра продольных сил N, построенная методом сечений, показана на

рис. 6, в.

Опорную реакцию С можно определить аналогично реакции В, а

уравнение статики – использовать для проверки правильности вычислений.

Проделайте это самостоятельно.

Если рассматриваемый стержень вследствие неточности изготовления не будет достигать опоры на величину Δ = 0,3 мм (рисунок 6, г), то дополнительное уравнение примет вид

δ_B = Δ.

Δ.

Е∙А∙∆

– B∙2,0 + (50 + 120 – 48) = Е∙А∙∆,

– B∙2,0 + 122 = Е∙А∙∆,

где Е = 2∙10¹¹Па, А = 10∙10^–4 м² , Δ = 0,3∙10^–3 м.

Вычислим Е∙А∙∆ = 2∙10¹¹∙10∙10^–4 ∙10^–3 ∙0, 3∙10^–3 = 60 кНм,

B∙2,0 = 122 – 60 = 62,

Итак, реакция в опоре В при наличии зазораΔ = 0,3 мм равна

B = 31кН

На рисунке 6, д показана эпюра N при Δ = 0,3 мм.

Рисунок 6 − Эпюры нормальных сил N для статически

неопределимого стержня

Для неточно изготовленного стержня, имеющего зазор Δ = 0,3 мм с опорой B (рисунок 6, г), определим значения нормальных напряжений σ, относительных деформаций ε, абсолютных деформаций ∆l и перемещений δ.

Нормальные напряжения σ:

на первом участке

,

на втором участке

,

на третьем участке

,

на четвертом участке

.

Вычислим относительные продольные деформации ε_хi по формуле

для всех участков стержня:

на первом участке

ε_х1 ,

на втором участке

ε_х2 ,

на третьем участке

ε_х3 ,

на четвертом участке

ε_х4 .

Абсолютные деформации стержня ∆l _i определим по формуле:

∆l _i = ε_хi∙l_i

для всех участков стержня:

на первом участке

∆l₁= ε_х1∙ l₁ = – 7,75∙10^–5∙0,6∙10³ = – 0,0465 мм

на втором участке

∆l₂= ε_х2∙ l₂ = 17,25∙10^–5∙1,0∙10³ = 0,1725 мм,

на третьем участке

∆l₃= ε_х3∙ l₃ = 34,5∙10^–5∙0,4∙10³ = 0,138 мм,

на четвертом участке

∆l₄= ε_х4∙ l₄ = 4,5∙10^–5∙0,8∙10³ = = 0,036 мм.

Определим перемещения δ на границах участков, используя тот факт, что перемещение δ является интегральной функцией по отношению к относительной продольной деформации ε_х . Эпюру перемещение δ начинаем строить от заделки. В заделке перемещение δ_задел = 0. Перемещение любого сечения стержня равно сумме деформаций участков, расположенных между сечением и опорой (заделкой), т.е. сумме площадей эпюры ε_х, расположенных между рассматриваемым сечением и заделкой.

Перемещение точки D обусловлено деформацией участка IV:

δ_D = ∆l₄= 0,036 мм,

Перемещение точки M складывается из деформаций участков IV и III:

δ_M = ∆l₄+∆l₃= 0,036 + 0,138 = 0,174 мм,

Перемещение точки K складывается из деформаций участков IV, III и II:

δ_K = ∆l₄+∆l₃ +∆l₂= 0,036 + 0,138 + 0,1725 = 0,3465 мм,

Перемещение точки B складывается из деформаций участков IV, III, II и I:

δ_B = ∆l₄+∆l₃ +∆l₂+ ∆l₁= 0,036 + 0,138+ 0,1725 – 0,465 = 0,3 мм.

Точка B опускается по вертикали вниз на 0, 3 мм, перемещение равно величине зазора ∆.

КРУЧЕНИЕ. Основные понятия

При кручении в поперечном сечении стержня возникает крутящий момент МК. Нагрузкой при кручении являются скручивающие моменты mi, действующие относительно продольной оси стержня. Крутящий момент определяется методом сечений и равен алгебраической сумме внешних (скручивающих) моментов, действующих на рассматриваемую часть стержня: М_к = ∑m_i. Момент считается положительным, если он направлен против хода часовой стрелки (при взгляде со стороны сечения).

При кручении в поперечном сечении стержня возникают касательные напряжения τ. Касательные напряжения τ распределяются по площади круглого поперечного сечения стержня неравномерно, нарастая от оси вала к поверхности по линейному закону, наибольшие напряжения возникают по контуру сечения. Закон распределения напряжений τ вдоль произвольного радиуса в сечении изображен на рисунке 8. Во всех точках окружности радиуса ρ напряжение τ = const и направлено по касательной к этой окружности [5]. Напряжения τ в сечении сводятся к крутящему моменту М_к (рисунок 8):

.

Формула для определения τ имеет вид:

где ρ – расстояние от центра вала до рассматриваемой точки ;

I_ρ – полярный момент инерции сечения, м⁴ , для сплошного круглого сечения сечения (приложение 2):

– крутящий момент, Н·м.

Рисунок 8 − Распределение касательных напряжений

в сечении при кручении

Условие прочности имеет следующий вид:

,

где – геометрическая характеристика прочности при кручении [5], называемая полярным моментом сопротивления, м³:

[τ_к] – допускаемое напряжение на кручение, Па.

Для сплошного круглого сечения (рис. 8)

.

Рисунок 9 − К определению полярного момента сопротивления W_р

для сплошного круглого сечения

Для полого толстостенного цилиндра (рис. 10)

.

Рисунок 10 − К определению полярного момента сопротивления W_р

для полого толстостенного цилиндра

Деформация при кручении характеризуется углом закручивания на единицу длины стержня θ:

.

Величина θ называется относительным углом закручивания и имеет размерность рад/м или град/м.

Условие жесткости имеет вид

,

где G – модуль упругости материала при сдвиге, Па.

Зависимость между модулями упругости Е и G имеет вид

,

где μ – коэффициент Пуассона;

[θ] – допускаемый относительный угол закручивания на единицу длины стержня (рад/м).

Диаметр стержня, работающего на кручение, определяется из двух условий: прочности и жесткости. Во внимание берется наибольший диаметр. Окончательное значение его принимается согласно стандарту.

Рисунок 11 − Построение эпюр крутящих моментов М_к углов поворота сечений φ: а – расчетная схема; б – эпюра крутящих моментов М_к;

в – эпюра углов поворота сечений φ

Должно выполняться условие равновесия ∑m_х = 0:

∑m_х = m₁ – m₂ – m₃ + m₄ = 2 – 1 – 4 + 3 = 0.

Для определения крутящих моментов М_к на участках стержня будем рассматривать его левую часть.

Участок I: М_к1 = m₁ = 2 кН·м.

Участок II: М_к2 = m₁ – m₂ = 2 – 1 = 1 кН·м.

Значение М_к3 определите самостоятельно (М_к3 = – 3 кН·м).

По вычисленным значениям М_к строится эпюра (рисунок 28, б).

Преобразуем условия прочности и жесткости к виду, удобному для определения диаметра стержня.

Условие прочности:

, .

Условие жесткости:

,

откуда

.

Вычисляем диаметр вала из условий прочности и жесткости.

На первом участке:

– диаметр вала из условия прочности

;

– диаметр вала из условия жесткости

.

Принимаем d₁ = 6 см.

На втором участке:

– диаметр вала из условия прочности

;

– диаметр вала из условия жесткости

.

Принимаем d₂ = 5 см.

Диаметр поперечного сечения на участке III рассчитайте самостоятельно (d₃ = 5,35 см, d’₃ = 6,18 см, принимаем d₃ = 7 см).

Если стержень имеет постоянное сечение, то диаметр его определяется исходя из максимального значения М_к.

Определим деформации участков стержня:

.

Значения φ на других участках следующие:

.

Углы поворота характерных сечений (границ участков) равны:

.

Значение φ_D определите самостоятельно (φ_D = – 0,429^o).

Эпюра углов поворота сечений показана на рисунке 28, в.

Вычислим максимальные напряжения на участках стержня:

Вычисленные значения диаметров участков стержня обеспечивают его прочность и жесткость.