Полное приращение и полный дифференциал функций нескольких переменных

Для функции f(x, y) выражение Dz= f(x+Dx,y+Dy)–f(x, y) называется полным приращением.

Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то

.

Применив теорему Лагранжа[7] к выражениям, стоящим в квадратных скобках, получаем:

, , здесь . Следовательно . Т.к. частные производные непрерывны, то можно записать равенства: , .

Выражение называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где a1 и a2 – бесконечно малые функции при Dх®0 и Dу® 0 соответственно.

Полным дифференциаломфункции z = f(x, y) называется главная линейная относительно Dх и Dу приращения функции Dz в точке (х, у): .

Для функции произвольного числа переменных:

Пример 7. Найти полный дифференциал функции .

Решение. (1)

Найдем , подставим в формулу (1), получим

Пример 8. Найти полный дифференциал функции

Решение.Найдем частные производные и подставим в формулу:

,

.

Геометрический смысл полного дифференциала[8]

Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+Dх, у0+Dу).

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Производные и дифференциалы функций нескольких переменных | Частные производные высших порядков


Дата добавления: 2017-12-05; просмотров: 356; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию, введите в поисковое поле ключевые слова и изучайте нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам понравился данный ресурс вы можете рассказать о нем друзьям. Сделать это можно через соц. кнопки выше.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2018 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.004 сек.