Полное приращение и полный дифференциал функций нескольких переменных

Для функции f(x, y) выражение Dz= f(x+Dx,y+Dy)–f(x, y) называется полным приращением.

Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то

.

Применив теорему Лагранжа[7] к выражениям, стоящим в квадратных скобках, получаем:

, , здесь . Следовательно . Т.к. частные производные непрерывны, то можно записать равенства: , .

Выражение называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где a₁ и a₂ – бесконечно малые функции при Dх®0 и Dу® 0 соответственно.

Полным дифференциаломфункции z = f(x, y) называется главная линейная относительно Dх и Dу приращения функции Dz в точке (х, у): .

Для функции произвольного числа переменных:

Пример 7. Найти полный дифференциал функции .

Решение. (1)

Найдем , подставим в формулу (1), получим

Пример 8. Найти полный дифференциал функции

Решение.Найдем частные производные и подставим в формулу:

,

.

Геометрический смысл полного дифференциала[8]