Производные и дифференциалы функций нескольких переменных

Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х,у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина D_x z = f(x+Dx,y)–f(x, y) называется частным приращением функции по х.Можно записать .

Тогда называется частной производнойфункции z = f(x, y) по х. Обозначение:

Аналогично определяется частная производная функции по у.

Геометрическим смысломчастной производной является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N₀(x₀, y₀, z₀) к сечению поверхности плоскостью у = у₀.

Пример 4. Найти все производные первого порядка:

а) .

Решение. Рассматривая у как постоянную величину, получим . Рассматривая х как постоянную величину, получим .

б) .

Решение. ; .

в) .

Решение. ; .

г) .

Решение. Рассматривая у и z как постоянные величины, получим .

Рассматривая хи z как постоянные величины, получим .

Рассматривая хи у как постоянные величины, получим .

Пример 5.Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Решение. Находим , .

Подставим найденные выражения в левую часть уравнения:

Пример 6.Найти , если , .

Решение. Находим , , , .

.