Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области надо:

1. найти критические точки, расположенные в данной области, вычислить значения функции в этих точках;

2. найти наибольшее и наименьшее значения функции на линиях, образующих границу области;

3. из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 22.Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутом треугольнике, ограниченном осями координат и прямой .

Рис.22

Решение.

1. Найдём критические точки из системы (1; 2) – критическая точка, которая принадлежит заданной области. Значение функции в критической точке .

1. Проводим исследование на границе.

На прямой Оу получаем: , . Исследуем эту функцию одной переменной на наибольшее и наименьшее значения на интервале .

.

На концах отрезка функция принимает значения и .

На прямой Ох получаем: , . Исследуем эту функцию одной переменной на наибольшее и наименьшее значения на интервале .

.

На концах отрезка функция принимает значения и .

На прямой получаем: , . Исследуем эту функцию одной переменной на наибольшее и наименьшее значения на интервале .

.

На концах отрезка функция принимает значения и .

3. Из всех получившихся значений выбираем наибольшее и наименьшее .

Пример 23. Из всех прямоугольных треугольников с заданной площадью S найти такой, гипотенуза которого имеет наименьшее значение.

Решение. Пусть x и y– катеты треугольника, а z–гипотенуза. Так как , то задача сводится к нахождению наименьшего значения функции при условии, что x и y связаны уравнением , т.е. . Рассмотрим функцию и найдём частные производные Получаем решение . Таким образом, гипотенуза имеет наименьшее значение, если катеты треугольника равны между собой.

[1] Дирихле Петер Густав (1805-1859) – немецкий математик, член- корреспондент Петербургской АН 1837г.

[2] Вейерштрасс Карл (1815-1897)- немецкий математик.

[3] Кантор Георг (1845-1918)- немецкий математик.

[4] Лопиталь де Гийом Франсуа (1661-1704) – французский математик, член Парижской академии наук, ученик И.Бернулли. Автор первого учебника по дифференциальному исчислению «Анализ бесконечно малых» (1696г.); в этом учебнике и было сформулировано правило, называемое теперь правилом Лопиталя.

[5] Dх может быть и отрицательным.

[6] На этом рисунке знаком «+» отмечены те интервалы, на которых функция положительна, и знаком «-» те, где она отрицательна.

[7] Теорема Лагранжа.Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b), то на этом интервале найдется, по крайней мере, одна точка e (a < e < b), такая, что .

[8] Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

[9] Другой способ решения смотрите пример в пункте 3.7.

[10] Можно было не искать, а сослаться на теорему Шварц.

[11] Лагранж Жозеф Луи (1736-1813) – французский математик и механик, член Берлинской академии наук (1759), Парижской академии наук (1772), почётный член Петербургской академии наук (1776), родился и получил высшее образование в Турине (Италия).