Iii. Оптимальная линейная фильтрация полезного сигнала с постоянным приращением
Пусть разностное уравнение для неслучайного полезного сигнала имеет следующий вид:
, (3.1)
где - скорость изменения сигнала;
- интервал дискретизации.
Разностному уравнению соответствует модель полезного сигнала в виде следующего полинома первого порядка:
, (3.2)
где , - некоторые параметры неслучайного полезного сигнала (начальное значение, скорость изменения).
Оценивание методом МНК
Параметры , должны быть оценены по результатам измерений , . В соответствии с методом МНК минимизируемый критерий в данном случае запишется следующим образом:
. (3.3)
В качестве оценок МНК будем использовать те значения параметров модели полезного сигнала и , для которых записанный критерий оптимальности принимает минимальное значение или производные критерия оптимальности равны нулю:
; (3.4)
. (3.5)
В результате применения операции дифференцирования по оцениваемым параметрам получим:
;
.
После выполнения операции суммирования с точностью до несущественных постоянных множителей получим:
;
.
Таким образом, получена система двух линейных уравнений относительно искомых параметров и . Решение системы имеет следующий вид:
;
.
Учтем следующие выражения:
; .
В этом случае оптимальные оценки параметров полезного сигнала методом МНК примут следующий окончательный вид:
; (3.6)
, (3.7)
где ;
.
Соответственно, оценка сигнала на момент последнего измерения запишется следующим образом:
, (3.8)
где .
Экстраполированное значение оценки сигнала на один дискрет времени вперед определяется выражением:
, (3.9)
где .
Дисперсии полученных оценок скорости , фильтрованного и экстраполированного сигналов с учетом некоррелированности шумов наблюдения в различных дискретах времени запишутся в виде:
,
, (3.10)
.
Оценивание методом рекуррентной фильтрации
Рекуррентные уравнения оптимальной фильтрации могут быть получены в результате взвешенного суммирования экстраполированного значения оцениваемого сигнала с текущим рассогласованием:
, (3.11)
где - коэффициент фильтрации по положению сигнала.
Вес текущего рассогласования стремится к нулю, если экстраполированная оценка является идеальной ( ), и стремится к единице, если дееальным является текущий входной сигнал ( ). В последнем случае выражение (3.11) принимает вырожденный вид: .
Результирующие уравнения оптимальной дискретной линейной фильтрации имеют следующий рекуррентный вид:
, (3.12)
, (3.13)
, (3.14)
, (3.15)
,
,
где - экстраполированное значение измеряемого дискретного сигнала;
- коэффициент фильтрации по положению сигнала;
- измеренное значение скорости изменения дискретного сигнала;
- экстраполированное значение скорости изменения дискретного сигнала;
- коэффициент фильтрации по скорости сигнала.
Структурная схема оптимального линейного дискретного фильтра сигнала с постоянным приращением имеет следующий вид: рисунок 3.1.
В соответствии с рисунком 3.1 фильтр для фильтрации сигнала с постоянным приращением представляет собой дискретную следящую систему с двумя цифровыми интеграторами в разомкнутой цепи, измерением скорости приращения и переменными коэффициентами фильтрации контуров по положению и скорости.
По причине неслучайного сигнала коэффициенты фильтрации стремятся к нулю с течением времени, что приводит к размыканию обратных связей и накоплению ошибок, вызванных конечной разрядностью представления чисел. Этот недостаток устраняется использованием квазиоптимальных алгоритмов - фильтрации, для которых коэффициенты фильтрации не меняются во времени, а ошибка фильтрации минимизируется не для каждого отсчета, а только после окончания переходного процесса.
Рисунок 3.1 – структурная схема реккурентной оптимальной линейной фильтрации сигнала с постоянным приращением
Дата добавления: 2017-09-19; просмотров: 816;