Ii. Оптимальная линейная фильтрация неслучайного постоянного полезного сигнала
Пусть разностное уравнение для полезного сигнала имеет следующий вид:
. (2.1)
Таким образом, неизвестный полезный сигнал является неслучайным и постоянным. Такому разностному уравнению соответствует модель полезного сигнала в виде следующего полинома нулевого порядка:
,
где - некоторый параметр неслучайного постоянного полезного сигнала (начальное значение).
Известно, что оптимальная оценка постоянного дискретного сигнала на фоне дискретного белого шума в соответствии с методом МНК определяется выражением для оценки математического ожидания наблюдаемого случайного сигнала, которое минимизирует сумму квадратов ошибки :
. (2.2)
В самом деле, в соответствии с разностным уравнением для полезного сигнала (2.1) сумму квадратов ошибки можно записать в следующем виде, так как полезный сигнал не меняется от номера отсчета:
. (2.3)
Оптимальной оценкой полезного сигнала будет оценка, минимизирующая сумму квадратов ошибки (2.3) или обращающая в ноль ее производную по оцениваемому параметру:
(2.4)
или
,
.
Для получения реккурентного оптимального дискретного фильтра в данном частном случае проведем математические преобразования оптимальной оценки полезного сигнала методом МНК (2.2).
. (2.5)
Учтем, что одно из последних слагаемых в выражении (2.5) включает в себя оптимальную оценку полезного сигнала в предыдущий момент времени :
. (2.6)
С учетом выражения (2.6) выражение (2.2) можно записать следующим образом:
. (2.7)
Таким образом, получено реккурентное выражение для оптимальной оценки дискретного постоянного полезного сигнала:
. (2.8)
Под реккурентной оценкой понимается такая оценка, которая позволяет уточнить предшествующую оценку с учетом нового измерения дееюдаемого сигнала.
Выражение (2.8) может быть также записано и в следующем виде:
, (2.9)
, (2.10)
,
где - экстраполированное (предсказанное) значение измеряемого постоянного дискретного сигнала;
- коэффициент фильтрации по положению постоянного сигнала.
Рисунок 2.1 – структурная схема реккурентной оптимальной линейной фильтрации постоянного сигнала
Структурная схема оптимального линейного дискретного фильтра постоянного сигнала имеет следующий вид: рисунок 2.1.
В соответствии с рисунком 2.1 оптимальный реккурентный фильтр для фильтрации постоянного сигнала представляет собой дискретную следящую систему с переменным коэффициентом фильтрации и цифровым интегратором в разомкнутой цепи.
Особенностью переменного коэффициента фильтрации для неслучайного постоянного полезного сигнала является его стремление к нулю с течением времени. Это являетя недостатком такого фильтра, так как обратная связь размыкается и накапливаются ошибки, обусловленные конечной разрядностью цифровых фильтров. Этот недостаток устраняется использованием квазиоптимальных алгоритмов - фильтрации, для которых коэффициент фильтрации не меняется во времени, а ошибка фильтрации минимизируется не для каждого отсчета, а только после окончания переходного процесса.
Дата добавления: 2017-09-19; просмотров: 684;