Непрерывность функции

Опр.: Функция называется непрерывной в точке х₀, если она определена в некоторой окрестности этой точки и

Функция называется непрерывной слева (справа) в точке , если она определена в некоторой окрестности слева (справа) от точки и

Опр.: Функция называется непрерывной в интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Опр.: Точки, в которых, функция не является непрерывной называются точками разрыва.

Классификация точек разрыва

1.

Если

т.е.

но

(если в точке функция не определена)

то – точка устранимого разрыва I-го разряда.

Пример:

при функция неопределенна.

т.о. – точка устраняемого разрыва 1-го рода.

Доопределив функцию в токе , получим:

Новая функция будет уже непрерывна в точке .

2.

 

 

то – точка конечного разрыва I-го рода.

 

Опр.: Скачком функции в точке разрыва I-го рода называется величина:

Пример:

при

в точке разрыв I рода.

3.Все остальные – точки разрыва II рода.

Пример:

при функция неопределенна

Т.к. односторонние пределы (достаточно было бы одного) бесконечны, то – точка разрыва II-го рода.

Примеры вычисления замечательных приделов:

1. т.к.

2.

3.

т.к. при