Уравнение прямой на плоскости

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть прямая пересекает ось Оy в т.ч. В(0; b) и образует с осью Оx угол
α (0 < α < )

Возьмем произвольную точку М (x; y) принадлежащую прямой

введем уголовной коэффициент

(1)

Частные случаи:

1) 2) 3)

2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направле-
нии

Пусть прямая проходит через точку и образует с осью Ох угол

Т.к. , то ее координаты удовлетворяют уравнению (1), т.е.

Подставим значение в (1)

(2)

Уравнение (2) с различными значениями k называют так же уравнением пучка прямых с центром в точке .

Из этого пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Оy.

3. Уравнение прямой, проходящей через две точки

,

если прямая проходит через

М₂ тоже принадлежит этой прямой, следовательно

подставим k в уравнение (2):

(4)

если .

Если , то прямая параллельна Оy

Если , то прямая параллельна Оx

4. Уравнение прямой в отрезках

Прямая пересекает ось Ох в точке ; Оy в точке , т.е отсекает на осях координат отрезки длиной a и b.

Используя уравнение (4) для точек и :

(5)

5. Общее уравнение прямой:

, причем одновременно.

Некоторые частные случаи!

1)

2)

3) прямая проходит через начало координат

6. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

l проходит через

Возьмем и , т.к. то их скалярное произведение равно 0, т.е.

– нормаль (7)

, тогда

– общее уравнение прямой, где А и В – координаты вектора нормали