Геометрический смысл производной

Секущая MN при становится касательной , т.е.

Т.е. производная функции в точке х равна угловому коэффициенту касательной в точке к кривой заданной уравнением .

Физический смысл производной

Если за промежуток времени тело прошло путь , то средняя скорость движения тела равна

При получим мгновенную скорость в t, т.е.

Правила дифференцирования

Схема вычисления производной:

1. Дать аргументу приращение , найти значения функции .

2. Найти приращение функции .

3. Составить отношение

4. Найдем предел этого отношения при , т.е. (если этот придел существует).

Пример:

1.

2.

3.

4.

Т.о. .

Можно доказать, что .

Правила дифференцирования:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Таблица производных:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Производная сложной функции:

Теорема: Если и – дифференцируемы функции от своих аргументов, то производная сложной функции:

Действительно:

Пример:

1)

, получим

2)

Производная обратной функции:

Дифференцируемая функция с производной имеет однозначную непрерывную обратную функцию , причем обратная функция так же дифференцируема и справедлива формула:

Пример: