Алгоритм исследования функции на экстремум с помощью второй производной

1 Найти первую производную функции .

2 Приравнять ее к нулю, найти действительные корни полученного уравнения ( т.е. критические точки ( ).

3 Найти вторую производную .

4 Во вторую производную подставить поочередно все критические значения; если при этой подстановке вторая производная окажется положительной, то в этой точке функция имеет минимум; если же вторая производная окажется отрицательной, то функция имеет максимум.

6Определить промежутки выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба.

Правило нахождения интервалов выпуклости функции и точек перегиба

1 Найти вторую производную функции и точки, в которых она равна нулю или не существует.

2 Определить интервалы, на которые область определения разбивается найденными точками.

3 Установить знаки второй производной в каждом из указанных интервалов. Если <0,то в рассматриваемом интервале кривая выпукла; если >0 – вогнута. Изменение знака указывает на наличие точки перегиба.

4 Найти ординаты точек перегиба.

7Найти точки разрыва (если они есть) и асимптоты.

8Используя результаты исследования, соединить полученные точки плавной кривой. Иногда для большей точности графика находят несколько дополнительных точек, их координаты вычисляют, пользуясь уравнением кривой.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

№1 Найдите производные следующих функций:

а) y= sin² 3x

Т.к. данная функция сложная, то используем правило дифференцирования сложной функции y_x’=y_u’u_x’.

Порядок следования функций таков: y=u²; u=sinv; v=3x

Значит y’=(u²)’u_v’v’=2sin3x(sin3x)’(3x)’=2sin3xcos3x3=3sin6x.

б)y=(x²+3x)⁵

y_x’=y_u’u_x’=5(х²+3х)⁴(х²+3х)’=5(х²+3х)⁴(2х+3).

в)y=ln sin³5x

y´=(ln sin³5x)’(sin³5x)’(sin5x)’(5х)’ = (1/sin³5x)3 sin²5xcos5x5 = 1/sin5x15cos5x = 15ctg5x.

№2

а)Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой y=x³ в точке С (-2;-8).