Алгоритм исследования функции на экстремум с помощью второй производной
1 Найти первую производную функции .
2 Приравнять ее к нулю, найти действительные корни полученного уравнения ( т.е. критические точки ( ).
3 Найти вторую производную .
4 Во вторую производную подставить поочередно все критические значения; если при этой подстановке вторая производная окажется положительной, то в этой точке функция имеет минимум; если же вторая производная окажется отрицательной, то функция имеет максимум.
6Определить промежутки выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба.
Правило нахождения интервалов выпуклости функции и точек перегиба
1 Найти вторую производную функции и точки, в которых она равна нулю или не существует.
2 Определить интервалы, на которые область определения разбивается найденными точками.
3 Установить знаки второй производной в каждом из указанных интервалов. Если <0,то в рассматриваемом интервале кривая выпукла; если >0 – вогнута. Изменение знака указывает на наличие точки перегиба.
4 Найти ординаты точек перегиба.
7Найти точки разрыва (если они есть) и асимптоты.
8Используя результаты исследования, соединить полученные точки плавной кривой. Иногда для большей точности графика находят несколько дополнительных точек, их координаты вычисляют, пользуясь уравнением кривой.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
№1 Найдите производные следующих функций:
а) y= sin² 3x
Т.к. данная функция сложная, то используем правило дифференцирования сложной функции yx’=yu’ux’.
Порядок следования функций таков: y=u2; u=sinv; v=3x
Значит y’=(u2)’uv’v’=2sin3x(sin3x)’(3x)’=2sin3xcos3x3=3sin6x.
б)y=(x2+3x)5
yx’=yu’ux’=5(х2+3х)4(х2+3х)’=5(х2+3х)4(2х+3).
в)y=ln sin35x
y´=(ln sin35x)’(sin35x)’(sin5x)’(5х)’ = (1/sin35x)3 sin25xcos5x5 = 1/sin5x15cos5x = 15ctg5x.
№2
а)Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой y=x3 в точке С (-2;-8).
Решение.
Найдем производную функции y=x3 в точке х=-2: .
б)В какой точке касательная к кривой y=x2-1 параллельна оси ОХ.
Решение.
Так как прямая параллельна оси ОХ, то она образует с ней угол 00 и её угловой коэффициент, равный тангенсу этого угла, равен нулю.
№ 3 Найдите производную функции и вычислите .
Решение.
Пользуясь правилами дифференцирования, найдем производную:
Вычислим .
Дата добавления: 2017-12-05; просмотров: 3702;