Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Угол между двумя прямыми, заданными их каноническими уравнениями

и определяется по формуле:

(12)

Условие параллельности двух прямых:

(13)

Условия перпендикулярности двух прямых:

(14)

Необходимое и достаточное условие нахождения двух прямых, заданных каноническими уравнениями, в одной плоскости:

(15)

Угол между прямой и плоскостью определяется по формуле:

(16)

Условие параллельности плоскости и прямой:

(17)

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

(18)

Для определения точки пересечения прямой с плоскостью нужно решить совместно их уравнения, используя уравнение (11):

а) если

б) если

в) если

Кривые второго порядка

Окружность

Опр.: Окружностью называют геометрическое место точек, одинаково удаленных от заданной точки, называемой центром.

Обозначим центр точкой если , а расстояние, на которое точки окружности удалены от центра называются радиусом : (R).

Выведем каноническое уравнение окружности:

Возьмем на окружности текущую точку , по формуле расстояния между двумя заданными точками:

Получим:

(1)

Если центр окружности находится в начале координат, то уравнение (1) упрощается :

(1')

Эллипс

Опр.: Эллипс – геометрическое место точек сумма расстояний от которых до двух заданных точек (называемых фокусами) – есть величина постоянная (равная 2а).

Расстояние между фокусами F₁ и F₂ равно 2с

а > c

r₁ и r₂ – фокальные радиусы

Выведем каноническое уравнение эллипса для случая, когда его фокусы лежат на оси Ox, симметрично относительно начала координат.

Возьмем на эллипсе текущую точку . По определения эллипса

После элементарных преобразований (сделать самостоятельно), получим уравнение:

Обозначим , получим:

(2)

– каноническое уравнение эллипса.

Точки , и , – вершины эллипса.

А₁ А₂ – большая ось = 2а

В₁ В₂ – малая ось = 2b

а – большая полуось

b – малая полуось

Показатель «выпуклости» эллипса – эксцентриситет:

т.к. , то

если – окружность.

Гипербола

Опр.: Гиперболой называют геометрическое место точек на плоскости, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух заданных точек (называются фокусами) величина постоянная и равна 2а, причем 2а < 2с ⇒ а < с.

Каноническое уравнение гиперболы аналогично эллипсу:

(3)

– сопряженная гипербола

Гипербола строится из а и b.

Перепишем уравнение гиперболы в виде:

при и уравнение принимает вид:

т.е. при ветви гиперболы как угодно близко подходят к прямым

– асимптоты гиперболы.

Оx – действительная ось гиперболы

Оy – линейная ось гиперболы

эксцентриситет , т.к. с > 0

Оптические свойства:

1. Лучи света, выходящие из эллипса после отображения от эллипса проходят через .

2. Лучи, исходящие из одного фокуса гиперболы после зеркального отображения – мнимый фокус .

3. Лучи света из параболы после отражения образуют пучок параллельный оси параболы.

Парабола

Опр.: Параболой называется геометрическое месторасположение точек на плоскости равноудаленных от заданной точки-фокуса и заданной прямой, называемой директрисой.

Расстояние от фокуса до директрисы равно p.

Выведем каноническое уравнение параболы для случая, когда, его фокус лежит на оси Ох. ⇒ Директриса перпендикулярна оси Ох, а начало координат делит расстояние от фокуса до директрисы пополам.