В плоскости опорной орбиты.

Перегруппируем слагаемые первых двух уравнений системы (32):

(33)

Введем линейную величину

и угол такой, что

описывают движение по эллипсу, представленному на рисунке 3.

Центр эллипса перемещается параллельно оси со скоростью

(36)

Из (35) следует, что величина полуоси эллипса вдоль оси абсцисс вдвое больше величины полуоси вдоль оси ординат, а движение по эллипсу происходит по направлению часовой стрелки, причем началом отсчета угла является луч, исходящий из центра эллипса в направлении, обратном направлению оси .

В предположении, что движение спутника происходит по круговой орбите радиуса , экстремальным расхождениям соответствуют минимальное и максимальное удаления спутника от центра масс центрального гравитирующего тела:

Таким образом, спутник будет обращаться по круговой орбите лишь при , т.е. при одновременном выполнении равенств:

В противном случае большая полуось орбиты спутника будет

Другими словами, размеры больших полуосей и орбит спутников будут различаться на величину

что в согласии с законом Кеплера приводит к различиям периодов их обращения на величину

В общем случае в соответствии с (34) движение спутника относительно спутника происходит по сложному закону и представляет собой суммарное движение объекта по круговой орбите и по эллипсу. Такое движение содержит вековое расхождение спутников вдоль оси , обусловленное движением центра эллипса со скоростью (36).

Обратившись к третьему уравнению системы (32), проанализируем зависимость от начальных условий относительных боковых отклонений спутников. Сразу заметим, что текущее боковое отклонение определяется исключительно боковыми же начальными отклонениями в положении и в скорости . При , максимальное значение бокового отклонения будет равно и не будет зависеть от высоты орбиты. Напротив, при

откуда следует, что, чем выше орбита (т.е. чем больше период обращения спутника ), тем она чувствительней к начальным возмущениям боковой скорости .

До сих пор, говоря об относительном движении двух близких спутников, мы полагали, что орбита одного из них является круговой. Оказывается, полученные нами результаты описания относительного движения можно использовать и в случае, когда оба спутника обращаются по эллиптически орбитам. Для этого следует ввести опорное круговое движение третьего фиктивного спутника и связанную с ним орбитальную вращающуюся систему координат. Потребуем, чтобы отклонения координат и скоростей обоих реальных спутников от начала орбитальной системы координат были достаточно малы, обеспечивая возможность решения задачи в реальном приближении. Тогда для каждого реального спутника мы можем написать уравнение прогноза:

где – матрица прогноза, элементы которой суть функции интервала прогноза и угловой скорости опорного кругового движения фиктивного спутника. Образуем разность:

где и – вектора состояния движения спутника относительно спутника в начальный и конечный моменты времени, разделенные интервалом .