И уравнений поправок межспутникового слежения

Целью данного параграфа является получение в рамках пространственного (space-wise) подхода к обработке наблюдательных данных общего вида уравнений наблюдений и уравнений поправок для межспутниковых измерений характеристик относительного движения двух искусственных спутников.

Для измеряемой бортовыми средствами относительной дальности (расстояния) роль уравнения наблюдений может играть соотношение (6):

Для удобства дальнейшего дифференцирования его чаще записывают в форме равенства:

линеаризация которого в окрестности априорно известного приближенного значения этой же дальности ведет к уравнению

где - приближенное межспутниковое расстояние, вычисляемое по приближенно известным на момент наблюдения векторам положения и спутников и соответственно. Производные в (19) имеют вид:

так как

Тогда уравнение (19) приобретает вид:

Для измеряемой относительной лучевой скорости двух искусственных спутников уравнение наблюдений запишем в форме (9):

(21)

линеаризация которого в окрестности вычисляемой по приближенным значениям положений и скоростей спутников величины

дает:

Дифференцируя (21),

приходим к уравнению поправок для измеряемой относительной лучевой скорости:

Входящие в уравнения поправок (20) и (22) малые величины могут быть далее представлены посредством уже использовавшихся выше разложений:

в которых приняты следующие обозначения:

- вектор текущих (на момент ) элементов орбиты,

- вектор начальных (на момент ) элементов орбиты,

- аргумент широты,

– вектор параметров моделей возмущающих сил гравитационной и негравитационной природы,

– искомый вектор поправок в номинальный вектор начальных (на ) элементов орбиты,

– искомый вектор поправок в приближенно известные значения параметров моделей возмущающих сил.

Приведем далее ряд известных формул, используемых для вычисления производных

Для эллиптического движения спутника имеют место соотношения:

где

- радиальная скорость спутника,

- трансверсальная скорость спутника (проекция вектора линейной скорости на ось нормальную к радиусу-вектору), - истинная аномалия.

В космической геодезии и планетной гравиметрии в большинстве случаев используют искусственные спутники, обращающиеся по круговым (или почти круговым) орбитам.

Для кругового движения формулы (23) принимают вид:

где по-прежнему .

Для большей наглядности разделим вектор параметров на две составляющие: – вектор гармонических коэффициентов и разложения геопотенциала в ряд объемных сферических функций, записав , и – вектор параметров моделей прочих возмущающих сил. В этом случае элементы матрицы производных можно вычислить по формулам:

где обозначено

Соответствующие множеству выполненных межспутниковых измерений уравнения поправок вида (20) и/или (22) объединяются в систему уравнений поправок, которую в обобщенном виде можно записать как:

где символами обозначены матрицы частных производных коэффициентов уравнений поправок при соответствующих неизвестных . Элементы этих матриц вычисляются аналитически либо численно. В свою очередь система уравнений (24) представляет собой систему линейных уравнений, для решения которой далее могут использоваться стандартные алгоритмы оценивания неизвестных, в частности, метод наименьших квадратов.

Завершая параграф, отметим, что приведенные выше формулы справедливы для всех случаев межспутниковых измерений, независимо от взаимного расположения спутников и величины межспутникового расстояния. Понятно также, что для проведения измерений между спутниками необходимо наличие взаимной видимости между участвующими в измерениях элементами спутниковой системы, условие которого формулируется в следующем параграфе. Далее мы подробно рассмотрим кинематику и динамику относительного движения искусственных спутников по близким орбитам на малом расстоянии друг от друга.