Метод текущего регрессионного анализа

Пусть по некоторому числу наблюдений n в моменты i=1, 2, …n ищется оценка коэффициентов модели в момент времени (n+α), где α=1, 2, ..≤n [4] Влияние информации, полученной в моменты времени n, n-1, n-2,… на точность оценки B(n+α) неодинаково. Для оценки ценности информации вводится функция веса φ(n, j,γ), где j – номер текущего наблюдения.

Для определения структуры алгоритма вычисления B(n+α), воспользуемся критерием наименьших квадратов, произведя взвешивание квадратов ошибок:

(5)

Вычисление B(n+α) из условия минимума (5) приводит к методу текущего регрессионного анализа. Выбор веса φ дает различные оценки B(n+α), но не оптимальные.

Рассмотрим различные функции веса. Принимаем, что с «увеличением» возраста наблюдений ценность их для определения оценок B(n+α) убывает, функция веса уменьшается с ростом (n-j). Для параметров процесса B(i) с монотонно убывающими корреляционными функциями может использоваться функция веса:

(6)

Такой вид функции веса соответствует методу «скользящего интервала». Более удобно выбирать функцию веса вида:

(7)

Параметр γ выбирается из условия минимума (4).

Рекуррентный алгоритм вычисления оценок параметров модели определяется выражением (3). Запишем такой алгоритм для метода текущего регрессионного анализа. Введем следующие обозначения:

(8)

(9)

Матрица функции «веса»(10)Коэффициенты модели(11)

Тогда величина L в (5) для выбора объема i может быть записана в следующем виде:

(12)

Минимизация (12) по оценке B(i+α) приводит к системе нормальных уравнений, как и в случае МРА:

откуда

(13)

При единичной матрицы выражение (13) совпадает с обычной мнк оценкой МРА.

Допустим, что после определения оценки B(i+α) появляется дополнительная информация x(i+1), y(i+1) необходимо подсчитать B(i+α+1). Тогда можно вновь воспользоваться формулой (13) подставляя в нее изменив входящие в нее матрицы (8-10).

Рассмотрим построение рекуррентного алгоритма вычисления B(i+α+1) используя уже подсчитанные величины B(i+α).

Для вычисления прогнозируемых значений коэффициентов B(n+α) по выборке из n наблюдений принимаем величину B(α) равной оценке мнк по имеющейся выборке:

(14)

Выбираем начальное значение обратной матрицы

(15)

Выбираем функцию веса где 0 < γ < 1. (16)

Тогда рекуррентное выражение для вычисления прогнозных значений оценок параметров модели принимает вид:

где

Контрольные вопросы

1. Чем может вызываться неконтролируемое изменение характеристик объекта во времени?

2. Как соотносятся времена изменения параметров дрейфующих объектов с процессом изменения контролируемых переменных?

3. Какие возможны ситуации при решении задачи построения математического описания дрейфующего объекта?

4. Чем отличается задача прогнозирования значений коэффициентов модели от задачи фильтрации?

5. В чем сущность алгоритма вычисления оценок B(n+α) в рекуррентной форме?

6. Когда оценки параметров модели будут состоятельными?

7. От чего зависит длительность переходного процесса при оценке параметров модели?

8. Сущность метода текущего регрессионного анализа?

9. Содержание рекуррентного алгоритма вычисления параметров модели дрейфующего объекта?