Метод наименьших квадратов
Задача наименьших квадратов возникает в самых различных областях науки и техники, например, при статистической обработке данных.
Для линейной зависимости y=ax+b составляем функцию, которая представляет собой сумму квадратов отклонений от прямой: , где
(
-табличное значение,
- эмпирическая формула). Надо определить такие значения параметров a и b , при которых функция двух переменных достигает минимума. Необходимым условием для этого является равенство нулю частных производных по a и b.
Возьмем частные производные по переменным a и b, приравняем их к нулю:
Получим систему линейных уравнений относительно неизвестных
a и b. Система называется нормальной для метода наименьших квадратов. Решаем систему по правилу Крамера:
Если обозначить: ,
,
,
, то тогда можно записать
и
.
Метод выравнивания
К линейной функции можно привести любую функцию вида ψ(y)=aּφ(x)+b, для этого достаточно сделать замену переменных, z=ψ(y), t=φ(x). Тогда мы получим z=aּt+b.
Рассмотрим показательную функцию .
Прологарифмируем это равенство. Получим ln(y)=ln(a)+x ln(b). Сделаем замену переменных z= ln(y), t=x и обозначим А= ln(b) B= ln(a). После замены получим z=A t+b.
Аналогично делаются замены и для других функций из таблицы.
Таблица 7.1.
Таблица замен
№ | Вид функции | Замена переменных | Характерные точки | Отклонения |
1. | ![]() | ![]() | ![]() | |
2. | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
3. | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
4. | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
5. | ![]() | ![]() ![]() | ![]() | ![]() |
6. | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
7. | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
,
,
.
,
,
.
- табличное значение для xар;
- табличное значение для хгеом;
- табличное значение для хгарм.
В таблице может не оказаться точек тогда точки
,
доопределяют по соседним точкам таблицы с помощью линейной интерполяции.
Для аналитических кривых существуют характерные точки, которые лежат на этих кривых. Например, если две точки принадлежат прямой, то и точка с координатами ( ,
) принадлежит той же прямой, если две точки принадлежат гиперболе, то и точка (xар,yгарм) также принадлежат этой гиперболе. В таблице через
обозначено отклонение табличного значения
, соответствующего xар, от ординаты характерной точки
, через
- отклонение табличного
от ординаты характерной точки yгарм и т.д.
Остальные находятся аналогично, в зависимости от характерных точек. Функция, для которой
примет наименьшее значение и будет наиболее подходящей. После соответствующей замены переменных применяют метод наименьших квадратов.
Пример 7.1
Бомба «Рейда» это техническое устройство для изучения легкоиспаряющихся жидкостей. В эксперименте на бомбе «Рейда» при постоянной температуре измеряется манометром избыточное давление паров нефти при различных соотношениях объёмов газовой и жидкой фаз. Определить эмпирическую зависимость давления паров нефти от соотношения объёмов газовой и жидкой фаз методом наименьших квадратов. Набор экспериментальных данных представлен в таблицах
Для того, чтобы выбрать наиболее подходящую зависимость построим график по табличным данным
![]() |
Можно предположить, что это будет :
1. показательная функция (строка 2 таблицы 7.1),
2. степенная функция (строка 5 таблицы 7.1),
3. дробно–рациональная функция (строка 3 таблицы 7.1).
Выберем ту функцию, для которой примет наименьшее значение.
В таблице данных нет значений ,
,
, подставляя
,
,
вместо v в формулу для линейной интерполяции, найдем соответствующие им значения функции
,
,
.
Формула для вычисления табличного значения для ![]() ![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Самые маленькие . Найдем методом выравнивания параметры для выбранных видов зависимостей. Будем искать аппроксимирующую функцию в виде
.
Делаем замену переменных
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
После замены точки ложатся близко к прямой. Параметры этой прямой A и B
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
После замены z = At + B нашли A и B по методу наименьших квадратов, используя встроенные функции Mathcadа.
Функция slope(x,y) возвращает значение углового коэффициента.
Функция intercept(x,y) возвращает значение свободного параметра.
Возвращаемся к исходной функции , строим её график и находим сумму квадратов отклонений от исходной таблицы значений. Можно также найти и среднеквадратичное отклонение.
.
Из двух разных приближений одной и той же табличной функции лучшим считается то, для которого сумма квадратов отклонений меньше.
Для этой же таблицы данных рассмотрим приближение, заданное показательной функцией
.
Замена переменных |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
среднеквадратичное отклонение. |
сумма квадратов отклонений |
![]() |
Для этой же таблицы данных рассмотрим приближение, заданное дробно-линейной функцией .
![]() |
Рис. 7.2. Решение примера 7.1 в Mathcad
Лучшим приближением для этих экспериментальных данных будет степенная функция.
Дата добавления: 2017-05-18; просмотров: 1005;