Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

Рассмотрим применение в качестве интерполяционного полинома Лагранжа.

, (8.1)

где - ошибка квадратурной формулы (8.1) или остаточный член

Выбрав шаг ,разобьем отрезок с помощью равноотстоящих точек , , на n равных частей, и пусть . Заменяя функцию соответствующим интерполирующим полиномом Лагранжа

,

получим приближенную квадратурную формулу:

, (8.2)

- некоторые постоянные коэффициенты. Найдём явные выражения для коэффициентов формулы (8.2).

Коэффициенты полинома Лагранжа имеют вид:

,

где , причем .

Введем обозначения: и тогда

,

.

Сделав замену переменных в определенном интеграле , будем иметь: .

Учитывая, что , обычно полагают , где это постоянные, называемые коэффициентами Котеса.

Квадратурная формула (8.2) принимает вид:

(8.3)

Формулы называются квадратурными формулами Ньютона-Котеса

Справедливы соотношения: 1. ; 2. .

Формула трапеций и ее остаточный член

При n=1 получим

, отсюда:

(8.4)

Если подынтегральная функция дважды дифференцируема, то остаточный член квадратурной формулы (8.4) равен:

, где