Метод наименьших квадратов для полиномов

Мы рассматривали функции, зависящие от двух параметров. Предположим, что аппроксимирующая функция имеет вид квадратичной зависимости: .

Аналогично линейной зависимости составим функцию

, где ( -табличное значение, - эмпирическая формула).

Возьмем частные производные по a,b и c

И приравняем их к нулю

Получим нормальную систему уравнений.

-

Решив нормальную систему относительно неизвестных a,b,с, найдём значения параметров приближающей функции.

Если аппроксимирующая функция является многочленом более высокого порядка “n”, то суть подхода к решению задачи не изменится, а увеличится только число уравнений системы.

Пример 7.2.

Данные предыдущего примера 7.1 аппроксимируем квадратичной зависимостью: . Напомним условие примера

Рис. 7.3. Решение примера 7.2 в Mathcad

Поскольку величина суммы квадратов отклонений для квадратичной зависимости получилась больше, чем у найденной ранее степенной функции, в данном примере предпочтительнее степенная функция.

Если аппроксимирующая функция является многочленом более высокого порядка “n”, то суть подхода к решению задачи не изменится, а увеличится только число уравнений системы.

Для построения аппроксимирующей зависимости в виде многочлена в Mathcad можно воспользоваться встроенными функциями regress и interp. Функция regress(x,y,k) возвращает вектор коэффициентов полиномов k-й степени, подобранного методом наименьших квадратов по экспериментальным точкам x и y(x -массив абсцисс, y- массив ординат). Элементы массива x должны быть упорядочены по возрастанию.

Пример 7.3

Продолжим вычисления с данными примера 7.1:

Естественно, результаты такие же, как в примере 7.2

Для кубической параболы получился самый хороший результат

Графики практически совпадают, поэтому не имеет смысла брать приближающий многочлен более высокого порядка.

Рис. 7.4. Решение примера 7.2 в Mathcad