Одномерные фильтрационные потоки несжимаемой жидкости при нелинейных законах фильтрации

Лекция № 13

Обобщим результаты для случая фильтрации несжимаемой жидкости при больших скоростях движения, когда становятся значительными инерционные силыстемы и основу уравнения движения должен составить не закон Дарси, а степенные функции:

Для таких простейших случаев одномерных потоков несжимаемой жидкости решения (P, w, Q) можно получить, не прибегая к уравнению Лапласа, а используя только уравнение движения и его связь с дебитом. Это становится возможным потому, что дебит в таких случаях постоянный, либо является простой функцией координаты движения, что позволяет разделить переменные

1. Прямолинейно-параллельный установившийся фильтрационный поток.

Схема фильтрации та же, но вместо закона Дарси используется нелинейный степенной закон фильтрации (рис. 13.1 и рис. 13.2).

Pk Pr ° x ° ° ° °   Lk

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .x

. . . . . .

Схема фильтрации та же, но вместо закона Дарси используется нелинейный степенной закон фильтрации (рис. 13.1 и рис. 13.2).

Для таких простейших случаев одномерных потоков несжимаемой жидкости решения (P, w, Q) можно получить, не прибегая к уравнению Лапласа, а используя только уравнение движения и его связь с дебитом. Это становится возможным потому, что дебит в таких случаях постоянный, либо является простой функцией координаты движения, что позволяет разделить переменные. Составим уравнение, левая часть которого выражает скорость фильтрации через нелинейный закон движения, а правая – скорость, выраженную через объемный дебит и площадь фильтрации

; 1 < n < 2.

Разделяя переменные и интегрируя в соответствующих пределах, найдем Q:

; откуда ,

интегрируя в переменных пределах, найдем распределение давления.

;

или подставляя сюда выражение Q, получим:

,

что в точности совпадает спри фильтрациейи по линейному закону Дарси.

Находим градиент давления

и скорость фильтрации

,

будет постоянной и не зависит от координаты движения.

2. Плоскорадиальный фильтрационный поток несжимаемой жидкости.

Моделью является круговой пласт постоянной мощности, в центре пласта расположена добывающая скважина. Движение жидкости к скважине -по координате r. Начало координат на скважине. Составим уравнение, левая часть которого, как и раньше, выражает скорость фильтрации при нелинейном законе движения, а правая – скорость, выраженную через объемный дебит и площадь фильтрации.

,

где - площадь сечения пласта.

Разделяя здесь переменные и интегрируя, получим:

;

Откуда

.

В предельном случае при n = 2 (закон Краснопольского)

Распределение давления в потоке определим из предыдущего интегрируемого уравнения, проведя интегрирование его в переменных пределах, а затем подставив найденное выражение потока Q:

; .

В случае закона Краснопольского (n = 2)

,

что совпадает с распределениемс решением давления при радиально-сферическом притотоке по линейному закону Дарси. Совпадает и градиент давления

;

при (n = 2) .

Скорость фильтрации w определяется

.

К такому же результату приводит расчет по формуле .

Индикаторные кривые, т.е. кривые дебита в зависимости от депрессии давления DР, имеют вид (рис. 13.3):

Кривая распределения давления в плоскорадиальном потоке при нелинейном законе фильтрации имеет форму гиперболы, а следовательно, воронка депрессии будет гиперболоидом вращения и будет круче, чем логарифмическая воронка в соответствующем потоке при линейной фильтрации (рис. 13.4).

Следует отметить, что в реальных условиях нельзя считать, что во всем

пласте – от стенки до контура питания справедлив один нелинейный закон фильтрации с постоянным показателем степени n. Фильтрация может происходить по линейному закону при небольших дебитах, но с его ростом начнется нарушение линейности начнется, прежде всего, у забоя скважины, в то время как в остальной части пласта может сохраняться закон Дарси. В дальнейшем по мере увеличения дебита область потока, в которой нарушен закон Дарси, будет расширяться.

В этих случаях необходимо использовать двухчленный закон функции

, где .

Выражая скорость фильтрации через дебит , перепишем двухчленный закон

,

разделяя здесь переменные, получим

.

Проинтегрировав здесь соответственно от r до R_k и от Р до Р_к, найдем:

а) распределение давления в пласте

;

б) дебит скважины, как положительную переменную квадратного уравнения

.