Интерференция скважин.

Лекция № 15

3.8.1 Общие положения

Введем некоторые новые понятия:

- точечный сток – точка на плоскости пласта, поглощающая жидкость; сток можно рассматривать как гидравлически совершенную скважину бесконечно малого радиуса в пласте единичной мощности (рис. 15.2 (а));

- точечный источник – точка, выделяющая жидкость (модель нагнетательной скважины) (рис. 15.2 (б)).

Найдем потенциал Ф точечного стока на плоскости. Т.к. точечный сток является моделью добывающей скважины и течение вокруг него плоскорадиальное, то скорость фильтрации можно выразить через удельный дебит (дебит скважины на единицу мощности)

,

где: w - скорость фильтрации; Q- объемный дебит; q = Q/h - удельный дебит жидкости.

Связь потенциала скорости фильтрации с вектором скорости

, где: ^.

Если направление касательной к траектории движения совпадает с направлением скорости фильтрации и градиента давления, тогда:

или ,

но для плоскорадиального течения .

Отсюда и после интегрирования .

Потенциал в точке r = 0 и r = ¥ теряет смысл. Эквипотенциальные линии представляют собой семейство окружностей r = const.

Для точечного источника выражение потенциала аналогичное, но q<0.

Найдем теперь потенциал точки стока не в плоскости, а в пространстве. Рассуждения аналогичные, что и для стока на плоскости, но движение вблизи такого рода стока радиально-сферическое, поэтому

, .

Для потенциала точечного источника знак дебита меняется на противоположный.

Модель точечного стока в пространстве будет в дальнейшем использована для решения различных задач притока жидкости к гидравлически совершенным и несовершенным скважинам.

Отметим, что метод стоков и источников находит применение не только для решения задач фильтрации, но также задач теплопроводности, электричества и магнетизма.

Вернемся к вопросам интерференции. Математический смысл метода суперпозиции заключается в том, что если имеется несколько источников фильтрационных потоков от скважин с потенциалами Ф₁(x, y, z), Ф₂ (x, y, z) … Ф_n (x, y, z), каждый из которых удовлетворяет уравнению Лапласа DФ_i = 0, то сумма их - также является его решением. Подбирая с_i можно удовлетворить всем граничным условиям.

Гидродинамический смысл метода суперпозиции состоит в том, что давления (потенциалы) в любой точке пласта, вызванные работой каждой скважины (добывающей и нагнетательной) алгебраически суммируется, а вектор суммарной скорости фильтрации частицы жидкости в данной точке находится как геометрическая сумма векторов скоростей, вызванных работой каждой скважины.

Пусть на неограниченной плоскости расположены n стоков, потенциал каждого из них в точке М равен Ф⁽ⁱ⁾_M, где: i = 1,2….n (рис. 15.3).

, , .

Каждая из функций потенциалов Ф⁽ⁱ⁾_M удовлетворяет уравнению Лапласа, тогда и суммарный потенциал в точке М

, где ,

также является его решением. Физически это означает, что фильтрационные потоки накладываются друг на друга. В этом и заключается принцип интерференции. Вектор суммарной скорости фильтрации в точке М равен геометрической сумме векторов скоростей (рис. 15.3).

,

где: .

Метод суперпозиции можно использовать не только в пластах, имеющих круговой контур питания, или бесконечно больших пластах, но и имеющих контур питания иной формы или непроницаемую границу. В этом случае для выполнения граничных условий приходится вводить фиктивные точечные стоки и источники. При этом решение задач в таких пластах сводится к учету одновременной работы и реальных и фиктивных источников. Метод называется методом отображения стоков и источников.

Рассмотрим, изложенные здесь принципы суперпозиции, при решении некоторых задачах, имеющих практическое применение в разработке нефтегазовых месторождений.

3.8.2. Приток жидкости к группе скважин в пласте с удаленным контуром питания.

Пусть в горизонтальном пласте толщиной h расположена группа скважин А₁, А₂… А_n, c радиусами r_ci, работающая с различными забойными потенциалами Ф_ci:

где: - давление на забое скважин.

Так как контур питания достаточно удален от всех скважин, можно приближенно считать, что их расстояния до точек контура одинаковы и равны R_k (рис. 15.4).

Потенциал в любой точке пласта, в том числе на забое любой скважины (Ф_сi), определяется как сумма потенциалов всех источников:

,

,

………………………………………………………….

.

Система состоит из n уравнений и содержит n+1 неизвестных (n дебитов и постоянную интегрирования с). Дополнительное уравнение получим, поместив точку М на контур питания:

.

Вычитая почленно уравнения системы из последнего уравнения (исключая тем самым с), получим новую систему из n неизвестных относительно q_i:

, i = 1, 2 ... n..

На основании этих уравнений можно также определить неизвестные потенциалы по известным дебитам.

; .

Рис. 15.5

 

3.8.3. Приток жидкости к скважине с прямолинейным контуром питания.

Пусть в полубесконечном пласте на расстоянии a от прямолинейного контура питания с контурным потенциалом Ф_k, работает в точке А одна добывающая скважина забойным потенциалом Ф_с. Требуется найти удельный дебит (q), скорость фильтрации ( ) и потенциал (Ф) в любой точке пласта М (рис. 15. 6).

 

Рис. 15.6

 

Формула потенциала точечного стока справедлива, если скважина расположена в бесконечном пласте или в центре пласта с круговым контуром питания, когда обеспечено плоскорадиальное течение.

Условие постоянства контурного потенциала Ф_k здесь не выполняется из-за конечного расстояния до контура питания. Для решения задачи используем рассмотренный метод отображения стоков и источников.

Влияние прямолинейного контура приводит к появлению фиктивного зеркального источника –q^* в точке А^/ на расстоянии aот прямолинейного контура питания.

Потенциал в любой точке М пласта определяется как сумма потенциалов от двух источников:

,

где: q – действительный сток; -q – фиктивный источник.

Потенциал на контуре получим, полагая r₁ = r₂:

Ф_k = С = const.

Постоянство потенциала свидетельствует о корректности применяемого метода. Для вычисления дебита скважины найдем ее забойный потенциал, переместив точку М на забой скважины, т.е. положив r₁ = r_с и r₂ = 2a:

, отсюда .

Формула совпала с формулой Дюпюи при условии R_к = 2а.

В реальных условиях форма контура питания неизвестна, но вероятней всего она располагается между окружностью радиуса а и прямой, которой соответствует R_к =2а (рис. 15.7).

 

Рис. 15.7

 

 

Поэтому удельный дебит q определяется из неравенства:

.

Найдем теперь гидродинамическое поле точечного источника возле прямолинейного контура как совокупность эквипотенциалей и линий тока.

Уравнение линии равного потенциала можно поучить из выражения потенциала в любой точке М (х, у) пласта .

Положив этот потенциал постоянной величине и представив радиусы-векторы r₁ и r₂ в координатой форме, найдем уравнение линии равного потенциала, проходящей через точку М: .

Это уравнение можно преобразовать к уравнению семейства окружностей с центрами, лежащими на оси x:

.

Аналогично можно показать, что семейство линий тока также будет представлять окружности, но с центрами на оси у. Окружности будут перпендикулярными к эквипотенциалям и проходить через сток и фиктивный источник (рис.15.8).

 

 

Рис. 15.8.

3.8.4. Приток жидкости к скважине, расположенной вблизи непроницаемой прямолинейной границы.

 

Рис. 15.9.

Такой модели соответствует геологическая ситуация, когда добывающая скважина расположена возле сброса или границы выклинивания продуктивного пласта. С помощью метода отображения стоков и источников скважину-сток зеркально отображают относительно непроницаемой границы, в скважину-сток такого же дебита и знака (рис. 15.9). Справедливость такого отображения подтверждается тем, что вектор скорости фильтрации при r₁ = r₂ будет направлен вдоль границы. Это означает, что граница является линией тока и фильтрация через нее отсутствует. Дебит скважины в такой модели можно определить из систем 2-х уравнений для модели с удаленным контуром питания:

,

где: 2а = r₁₂, отсюда

.

Лекция №16

3.8.5. Приток жидкости к скважине, эксцентрично расположенной в круговом пласте.

Пусть в плоском пласте мощностью h с круговым контуром питания радиуса R_к, на контуре которого поддерживается постоянный потенциал Ф_k, на расстоянии d от центра в т. A расположена скважина-сток, с забойным потенциалом Ф_с. Требуется определить дебит скважины и потенциал Ф_M (х, у) в любой точке пласта M (рис. 16.1).

Рис. 16.1

Воспользуемся методом отображения стока в круге радиусом R_k. В этом случае отображением стока +q в т. A будет источник –q в т. A^*, расположенной на продолжении ОА на расстоянии «а» от т. А. Найдем это расстояние из условия постоянства Ф_k на круге, в частности в 2-х его точках М₁ и М₂:

;

;

; .

Для того, чтобы определить дебит скважины в т. А запишем выражение ее забойного потенциала:

.

Чтобы избавиться от константы вычтем полученное выражение забойного потенциала из выражения контурного потенциала в т. M₁:

.

Подставляя сюда значение а, получим:

,

при d = 0 формула переходит в формулу Дюпюи. Выражение потенциала в любой точке М:

.

Вычитая из этого выражения уравнение Ф_М1=Ф_k и учитывая выражение для «а», получим:

3.9. Метод электрогидравлических аналогий -метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений.

На примере притока жидкости к нескольким рядам (плоскопараллельный поток) или кольцеобразным батареям скважин (плоскорадиальный поток) ознакомимся с широко применяемым на практике при проектировании разработки месторождений методом эквивалентных фильтрационных сопротивлений. Метод предложен Ю.А. Борисовым и основан на аналогии движения жидкости в пористой среде и электрического тока в проводниках.

Рис. 16.2

Рис. 16.3

При этом удельный дебит каждой скважины по методу отображения равен:

,

Рис. 16.3

П

где: , при L >> s, величина очевидно малая и ,

,

где: - внешнее фильтрационное сопротивление; а - внутреннее фильтрационное сопротивление.

Введение фильтрационных сопротивлений r и r^/ позволяет записать удельный дебит в форме аналогичной закону Ома: ,

где: q ® J; (Ф_k - Ф_c) ® U_k - U_c.

Суммарный дебит всей прямолинейной цепочки из n скважин:

,

где: 2sn = В – длина цепочки скважин.

Аналогично суммарный дебит круговой батареи из n скважин определяется выражением , где: R_k-радиус контура питания; R-радиус круговой батареи; s- половина расстояния между скважинами на контуре.

Введем аналогию между гидродинамическими характеристиками фильтрационного потока и характеристиками электрического тока: Q₁^/® I; (P_k-P_c)®DU; - внешнее фильтрационное сопротивление и - внутреннее фильтрационное сопротивление.

Тогда электрогидравлическая схема для одной цепочки (батареи) скважин будет иметь вид (рис. 16.4):

Сопротивление r представляет гидравлическое сопротивление потоку жидкости шириной В на пути L от контура питания до галереи, а r/ - отражает сопротивление потоку при подходе непосредственно к скважинам в зоне

Рис. 16.4

Пусть теперь в полубесконечном пласте с прямолинейным контуром питания работают три параллельных цепочки добывающих скважин с числом n₁, n₂, n₃ соответственно. Скважины в каждой цепочке имеют одинаковые радиусы и забойные давления Р_С1, Р_С2, Р_С3, а суммарные дебиты цепочек равны, соответственно Q₁^/, Q₂^/, Q₃^/.

Электрогидравлическая схема будет состоять из трех цепочек фильтрационных сопротивлений и будет выглядеть (рис. 16.5):

Рис. 16.5

Расчет схемы производится аналогично расчету разветвленных электрических цепей по законам Ома и Кирхгофа. Составляются алгебраические линейные уравнения по числу неизвестных: дебитов Q₁^/, Q₂^/, Q₃^/ (токов), если известны забойные давления (потенциалы), или наоборот.

Внешние сопротивления рассчитываются по формуле

,

где: L_i – расстояние от контура питания до i-й цепочки.

Внутренние сопротивления будут

, i = 1, 2, 3….

Отметим, что приток жидкости к трем кольцевым батареям скважин с круговым контуром питания рассчитывается по такой же схеме электрических сопротивлений; при этом сохраняются и формулы расчета внутренних фильтрационных сопротивлений, а внешние сопротивления рассчитываются по формуле

, i = 1, 2, 3…..

При расчете фильтрационных сопротивлений следует учитывать, что номера прямолинейных или кольцевых батарей отсчитываются от контура питания. Контур питания первой батареи совпадает с истинным контуром, а каждой последующей, совпадает с положением линии предыдущей батареи (рис. 16.6).

Расстояния L_i для расчета внешних фильтрационных сопротивлений плоскорадиального потока показаны на рисунке 16.6-а, а для расчета ана-

Рис. 16.6

логичных сопротивлений круговых батарей соотношение будет следующим: для первой батареи , для второй , для третьей и т.д.

3.10. Приток жидкости к несовершенным скважинам.

Лекция № 17

Скважина называется гидродинамически совершенной, если она вскрывает пласт на всю его мощность и на этом интервале скважина не обсажена (открыта), так что вскрытая поверхность забоя является фильтрующей.

Скважина называется несовершенной по следующим условиям:

- по степени вскрытия пласта (пласт вскрыт не на всю мощность), при этом ђ = b/h – называется относительным вскрытием пласта, где b – вскрытая мощность;

- по характеру вскрытия; скважина обсажена (или в ней находится специальный фильтр) и она сообщается с пластом через перфорационные отверстия в трубе (цементе) или отверстия в фильтре.

Встречаются скважины с двойным несовершенством. Гидродинамическое несовершенство скважин оценивается коэффициентом d = Q/Q_сов.

Приток жидкости к несовершенной скважине даже в бесконечном горизонтально - однородном пласте перестает быть плоскорадиальным. Строгие математические решения задач притока жидкости к несовершенным скважинам представляют большие трудности. Существует несколько подходов к решению таких задач:

1. Расчетный. Задача о притоке жидкости к несовершенным скважинам по степени вскрытия пласта математически исследовалась М. Маскетом. При этом получена следующая формула для дебита:

,

где: , .

j

Рис. 17.1

Иногда для расчета дебитов несовершенных по вскрытию пласта скважин используют формулу И. Козени:

; при ђ = 1 формула переходит в формулу Дюпюи.

Формула Козени удобна тем, что для рассчета не требует справочных данных Гамма-функции.

2. Электрическое моделирование, основанное на электрогидродинамической аналогии фильтрационных процессов.

Ванна заполняется электролитом. В электролит помещается кольцевой электрод, имитирующий контур питания, а в центре его погружается штыревой электрод-скважина на глубину, соответствующую степени вскрытия пласта скважиной. К обоим электродам подается разность потенциалов тока. Возникающий ток является аналогом дебита скважины.

Дебит гидравлически несовершенной скважины подсчитывается по формуле:

,

где: C = с₁+с₂ – дополнительное фильтрационное сопротивление, вызванное несовершенством скважины по степени вскрытия (с₁) и характеру вскрытия (с₂).

Измеряя разность потенциалов и силу тока, можно подсчитать по закону Ома общее сопротивление, сделать пересчет и определить дополнительные фильтрационные сопротивления.

Такие экспериментальные исследования проведены В.И. Щуровым. Им определены:

с₁ = с₁(а = h D_c, ħ = b/h) и с₂ = с₂ (n D_c, l = l^/ /D_c, α = d^/ /D_c),

где: n – число перфорационных отверстий на метр; D_c – диаметр скважины; l^/ - глубина проникновения перфорационных пуль в породу; d^/ - диаметр отверстий.

Составлены номограммы Щурова для определения с₁ и с₂ , первая из них показана на рис. 17.2.

.

3. И.А. Чарный предложил оценочный метод определения дебита, если величина b вскрытия пласта мала (b << h).

Область движения условно разбивается на две зоны: 1-я зона, где преимущественно плоскопараллельное движение от контура питания до зоны радиуса R₀; 2-я зона, где движение можно считать сферически- радиальным от скважины до расстояния R₀ (рис. 17.3).

Тогда дебит в первой зоне на ее границе со 2-й можно записать через формулу Дюпюи

.

Дебит во второй зоне на ее границе с первой, учитывая сферически-радиальный характер фильтрации, можно определить по формуле:

Приравнивая эти дебиты, в виду неразрывности потока, и применяя правило преобразования пропорции, получаем формулу обобщенного дебита для скважины, вскрывшей пласт на малую глубину:

,

принимая R₀ = 1,5 h, получаем окончательную формулу:

.

Задачи притока жидкости к скважинам, несовершенным по характеру вскрытия и с двойным несовершенством, еще сложнее.

На практике удобно рассчитывать дебит гидравлически несовершенной скважины также по формуле Дюпюи, но в этом случае в ней фигурирует не истинный радиус скважины, а приведенный:

,

где: - приведенный радиус. Найдем его, приравняв дебиты скважины, выраженные через приведенный радиус и через фильтрационные сопротивления:

.

Приравнивая, получим: , .

Этот прием позволяет рассчитать дебит несовершенных скважин по известной формуле Дюпюи, но с приведенным радиусом.

Иногда гидродинамическое несовершенство учитывается при помощи коэффициента несовершенства d, вычислив который как отношение дебита несовершенной скважины к дебиту совершенной, можно определить коэффициент C=с₁ +с₂ , выражающий сумму дополнительных фильтрационных сопротивлений

;

;

.